2009年湖北省高考数学试题答案(理数)

2009年高考数学湖北理科及详细解答一、选择题（本大题共10小题，共0分）1．（2009湖北理1）已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}PaammRQbbnnR是两个向量集合，则PQ=（）A．｛〔1，1〕｝B.｛〔-1，1〕｝C.｛〔1，0〕｝D.｛〔0，1〕｝【答案】A【解题关键点】因为(1,)(1,1)ambnn代入选项可得1,1PQ故选A.【结束】2．（2009湖北理2）设a为非零实数，函数11(,)1axyxRxaxa且的反函数是（）A、11(,)1axyxRxaxa且B、11(,)1axyxRxaxa且C、1(,1)(1)xyxRxax且D、1(,1)(1)xyxRxax且【答案】D【解题关键点】由原函数是11(,)1axyxRxaxa且，从中解得1(,1)(1)yxyRyay且即原函数的反函数是1(,1)(1)yxyRyay且，故选择D【结束】3．（2009湖北理3）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为（）A、13B、14C、16D、112【答案】C【解题关键点】因为22()()2()mninmimnnmi为实数所以22nm故mn则可以取1、26，共6种可能，所以1166616PCC【结束】4．（2009湖北理4）函数cos(2)26yx的图象F按向量a平移到'F,'F的函数解析式为(),yfx当()yfx为奇函数时，向量a可以等于（）.(,2)6A.(,2)6B.(,2)6C.(,2)6D【答案】B【解题关键点】直接用代入法检验比较简单.或者设(,)axyv，根据定义cos[2()]26yyxx，根据y是奇函数，对应求出x，y。【结束】5．（2009湖北理5）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）.18A.24B.30C.36D【答案】C【解题关键点】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C，顺序有33A种，而甲乙被分在同一个班的有33A种，所以种数是23343330CAA【结束】6．（2009湖北理6）设222212012122)...2nnnnnxaaxaxaxax（，则22024213521lim[(...)(...)]nnnaaaaaaaa（）A.-1B.0C.1D.22【答案】B【解题关键点】令0x得2021()22nna令1x时201222(1)2nnaaaa令1x时201222(1)2nnaaaa两式相加得：2202222(1)(1)222nnnaaa两式相减得：22132122(1)(1)222nnnaaa代入极限式可得，故选B【结束】7．（2009湖北理7）已知双曲线22122xy的准线过椭圆22214xyb的焦点，则直线2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是()A.11,22KB.11,,22KC.22,22KD.22,,22K【答案】A【解题关键点】易得准线方程是2212axb所以222241cabb即23b所以方程是22143xy联立2ykx可得223+(4k+16k)40xx由0可解得A【结束】8．（2009湖北理8）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元【答案】B【解题关键点】【结束】9．（2009湖北理9）设球的半径为时间t的函数Rt。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A.成正比，比例系数为CB.成正比，比例系数为2CC.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为2C【答案】D【解题关键点】由题意可知球的体积为34()()3VtRt，则'2'()4()()cVtRtRt，由此可得'4()()()cRtRtRt，而球的表面积为2()4()StRt，所以'2'()4()8()()vStRtRtRt表＝，即''''228()()24()()()()()()ccvRtRtRtRtRtRtRtRt表＝＝＝＝，故选D【结束】10．（2009湖北理10）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289B.1024C.1225D.1378【答案】C【解题关键点】【结束】二、填空题（本大题共5小题，共0分）11．（2009湖北理11）已知关于x的不等式11axx＜0的解集是1(,1)(,)2.则a.【答案】-2【解题关键点】由不等式判断可得a≠0且不等式等价于1(1)()0axxa由解集特点可得11022aaa且【结束】12．（2009湖北理12）样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为，数据落在[2,10)内的概率约为.【答案】640.4【解题关键点】由于在[6,10)范围内频数、组距是0.08，所以频率是0.08*组距=0.32，而频数=频率*样本容量，所以频数=（0.08*4）*200=64同样在[2,6)范围内的频数为16，所以在[2,10)范围内的频数和为80，概率为80/200=0.4【结束】13．（2009湖北理13）如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域.为了转播2008年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km.已知地球半径约为6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为km.(结果中保留反余弦的符号).【答案】812800arccos53【解题关键点】如图所示，可得AO=42400，则在Rt△ABO中可得cos∠AOB=853所以8212800arccos53lRAOBR【结束】14．（2009湖北理14）已知函数()'()cossin,4fxfxx则()4f的值为.【答案】1【解题关键点】因为'()'()sincos4fxfxx所以'()'()sincos4444ff'()214f故()'()cossin()144444fff【结束】15．（2009湖北理15）已知数列na满足：1a＝m（m为正整数），1,231,nnnnnaaaaa当为偶数时，当为奇数时。若6a＝1，则m所有可能的取值为__________。【答案】4532【解题关键点】（1）若1am为偶数，则12a为偶,故223a224amma①当4m仍为偶数时，46832mmaa故13232mm②当4m为奇数时，4333114aam63144ma故31414m得m=4。（2）若1am为奇数，则213131aam为偶数，故3312ma必为偶数63116ma，所以3116m=1可得m=5【结束】三、解答题（本大题共6小题，共0分）16．（2009湖北理16）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量＝x＋y，求的分布列和数学期望。【答案】依题意，可分别取5、6、11取，则有1123(5),(6),(7)441616164321(8),(9),(10),(11)16161616ppppppp的分布列为567891011p1162163164163162161161234321567891011816161616161616E.【解题关键点】【结束】17．（2009湖北理17）已知向量(cos,sin),(cos,sin),(1,0)aaabc（Ⅰ）求向量bc的长度的最大值；（Ⅱ）设a4，且()abc，求cos的值。【答案】（1）解法1：(cos1,sin),bc=则222||(cos1)sin2(1cos).bc21cos1,0||4bc，即0||2.bc当cos1时，有||2,bc所以向量bc的长度的最大值为2.解法2：|1b|=，||1c，||||2|bc|b+c当cos1时，有|(2,0)bc|=，即|2bc|=，bc的长度的最大值为2.（2）解法1：由已知可得(cos1,sin),bc=()coscossinsincoscos()cosabc。a⊥(b+c)，()0abc，即cos()cos。由4，得cos()cos44，即2()44kkz。22()4kkkz或，,于是cos0cos1或。解法2：若4，则22(,)22a，又由(cos,sin)b，(1,0)c得22222()(,)(cos1,sin)cossin22222abca⊥(b+c)，()0abc，即cos(cos1)0sin1cos，平方后化简得cos(cos1)0解得cos0或cos1，经检验，cos0cos1或即为所求【解题关键点】【结束】18．（2009湖北理18）如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，2ADa点E是SD上的点，且(02)DEa（Ⅰ）求证：对任意的(0,2]，都有ACBE（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若tantan1g，求的值【答案】（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=,SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD,SD⊥CD。又底面ABCD是正方形，CD⊥AD，而SDAD=D，CD⊥平面SAD.连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。在Rt△BDE中，BD=2a，DE=atan2DEBD在Rt△ADE中,22,,2ADaDEaAEa从而222ADDEaDFAE在RtCDF中，22tanCDDF由tantan1，得2222.12222.由(0,2]，解得2，即为所