2007年高考试题及答案-理科数学-湖北卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果2323nxx的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）Ａ．3Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．102．将π2cos36xy的图象按向量π24，a平移，则平移后所得图象的解析式为（）Ａ．π2cos234xyＢ．π2cos234xyＣ．π2cos2312xyＤ．π2cos2312xy3．设P和Q是两个集合，定义集合|PQxxPxQ，且，如果2|log1Pxx，|21Qxx，那么PQ等于（）Ａ．|01xxＢ．|01xx≤Ｃ．|12xx≤Ｄ．|23xx≤4．平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是m和n，给出下列四个命题：①mnmn；②mnmn；③m与n相交m与n相交或重合；④m与n平行m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．45．已知p和q是两个不相等的正整数，且2q≥，则111lim111pqnnn→（）A．0B．1C．pqD．11pq6．若数列{}na满足212nnapa（p为正常数，nN），则称{}na为“等方比数列”．甲：数列{}na是等方比数列；乙：数列{}na是等比数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线22122:1(00)xyCabab，的左准线为l，左焦点和右焦点分别为1F和2F；抛物线2C的准线为l，焦点为21FC；与2C的一个交点为M，则12112FFMFMFMF等于（）A．1B．1C．12D．128．已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为An和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（）A．2B．3C．4D．59．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量()mn，a=与向量(11)，b的夹角为，则0，的概率是（）A．512B．12C．712D．5610．已知直线1xyab（ab，是非零常数）与圆22100xy有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条B．66条C．72条D．78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11．已知函数2yxa的反函数是3ybx，则a；b．12．复数izababR，，，且0b，若24zbz是实数，则有序实数对()ab，可以是．（写出一个有序实数对即可）13．设变量xy，满足约束条件023.xyx≥，≤≤则目标函数2xy的最小值为．14．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率．（用数值作答）15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为116tay（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（错误!未找到引用源。）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；（错误!未找到引用源。）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知ABC△的面积为3，且满足06ABAC≤≤，设AB和AC的夹角为．（错误!未找到引用源。）求的取值范围；（错误!未找到引用源。）求函数2()2sin3cos24fπ的最大值与最小值．17．（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（错误!未找到引用源。）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（错误!未找到引用源。）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？（错误!未找到引用源。）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)，的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，ACBC⊥，D是AB的中点，且分组频数[1.301.34)，4[1.341.38)，25[1.381.42)，30[1.421.46)，29[1.461.50)，10[1.501.54)，2合计100O0.11y（毫克）t（小时）ACBCa，VDCπ02．（I）求证：平面VAB⊥VCD；（II）当解变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，过定点(0)Cp，作直线与抛物线22xpy（0p）相交于AB，两点．（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB△面积的最小值；（II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图）20．（本小题满分13分）已知定义在正实数集上的函数21()22fxxax，2()3lngxaxb，其中0a．设两曲线()yfx，()ygx有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：()()fxgx≥（0x）．21．（本小题满分14分）已知mn，为正整数，（I）用数学归纳法证明：当1x时，(1)1mxmx≥；BVADCABxyNCO（II）对于6n≥，已知11132mn，求证1132mmm，求证1132mmmn，12mn，，，；（III）求出满足等式34(2)(3)nnnmnn的所有正整数n．2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．Ｂ2．Ａ3．Ｂ4．Ｄ5．Ｃ6．Ｂ7．Ａ8．Ｄ9．Ｃ10．Ａ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分．11．162；12．(21)，（或满足2ab的任一组非零实数对()ab，）13．3214．1512815．110110010111610tttyt，，，≤≤；0.6三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．解：（Ⅰ）设ABC△中角ABC，，的对边分别为abc，，，则由1sin32bc，0cos6bc≤≤，可得0cot1≤≤，ππ42，∴．（Ⅱ）2π()2sin3cos24fπ1cos23cos22(1sin2)3cos2πsin23cos212sin213．ππ42，∵，ππ2π2363，，π22sin2133∴≤≤．即当5π12时，max()3f；当π4时，min()2f．17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）分组频数频率1.301.34，40.041.341.38，250.251.381.42，300.301.421.46，290.291.461.50，100.101.501.54，20.02合计1001.00（Ⅱ）纤度落在1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69，纤度小于1.40的概率约为10.040.250.300.442．（Ⅲ）总体数据的期望约为1.320.041.360.251.400.301.440.291.480.101.520.021.4088．18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．解法1：（Ⅰ）ACBCa∵，ACB∴△是等腰三角形，又D是AB的中点，CDAB∴，又VC底面ABC．VCAB∴．于是AB平面VCD．又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD．样本数据频率/组距1.301.341.381.421.461.501.54（Ⅱ）过点C在平面VCD内作CHVD于H，则由（Ⅰ）知CD平面VAB．连接BH，于是CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．在CHDRt△中，2sin2CHa；设CBH，在BHCRt△中，sinCHa，2sinsin2∴．π02∵，0sin1∴，20sin2．又π02≤≤，π04∴．即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为π04，．解法2：（Ⅰ）以CACBCV，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则2(000)(00)(00)000tan222aaCAaBaDVa，，，，，，，，，，，，，，，于是，2tan222aaVDa，，，022aaCD，，，(0)ABaa，，．从而2211(0)0002222aaABCDaaaa，，，，··，即ABCD．同理22211(0)tan0022222aaABVDaaaaa，，，，··，即ABVD．又CDVDD，AB∴平面VCD．又AB平面VAB．∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为()xyz，，n，则由00ABVD，nn··．得02tan0222axayaaxyaz，．ADBCHVADBCVxyz可取(112cot)，，n，又(00)BCa，，，于是22sinsin222cotBCaBCann···，π02∵，0sin1∴，20sin2．又π02≤≤，π04∴．即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为π04，．解法3：（Ⅰ）以点D为原点，以DCDB，所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则222(000)000000222DAaBaCa，，，，，，，，，，，，220tan22Vaa，，，于是220tan22DVaa，，，2002DCa，，，(020)ABa，，．从而(020)ABDCa，，·20002a，，·，即ABDC．同理22(020)0tan022ABDVaaa，，，，·，即ABDV．又DCDVD，AB∴平面VCD．又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为()xyz，，n，则由00ABDV，·