2006年湖北高考理科数学试卷及答案

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量1,3a，b是不平行于x轴的单位向量，且3ba，则b=A.21,23B.23,21C.433,41D.0,12.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且103cba，则a=A.4B.2C.-2D.-43.若△ABC的内角A满足322sinA，则AAcossinA.315B.315C.35D.354.设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为A.4,00,4B.4,11,4C.2,11,2D.4,22,45.在2431xx的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有A.3项B.4项C.5项D.6项6.关于直线m、n与平面、，有下列四个命题：①//,//nm且//，则nm//；②nm,且，则nm；③//,nm且//，则nm；④nm,//且，则nm//.其中真命题的序号是：A.①、②B.③、④C.①、④D.②、③7.设过点yxP,的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若PABP2，且1ABOQ，则P点的轨迹方程是A.0,0123322yxyxB.0,0123322yxyxC.0,0132322yxyxD.0,0132322yxyx8.有限集合S中元素个数记作cardS，设A、B都为有限集合，给出下列命题：①BA的充要条件是cardBA=cardA+cardB；②BA的必要条件是cardAcardB；③BA的充分条件是cardAcardB；④BA的充要条件是cardAcardB.其中真命题的序号是A.③、④B.①、②C.①、④D.②、③9.已知平面区域D由以3,1A、2,5B、1,3C为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点yx,可使目标函数myxz取得最小值，则m（）A.2B.1C.1D.410.关于x的方程011222kxx，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是A.0B.1C.2D.3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.11.设x、y为实数，且iiyix315211，则x+y=___________.12.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为___________.（精确到0.01）13.已知直线0125ayx与圆0222yxx相切，则a的值为___________.14.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是___________.（用数字作答）15.将杨辉三角中的每一个数rnC都换成分数rnCn11，就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出rnxnrnnCCnCn111111，其中x=_______.令22111160130112131nnnCnnCa，则nnalim=_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）设函数cbaxf，其中向量xxbxxacos3,sin,cos,sinRxxxc,sin,cos.（Ⅰ）求函数xf的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数xfy的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.17.（本小题满分13分）已知二次函数xfy的图像经过坐标原点，其导函数为26xxf.数列na的前n项和为nS，点*,NnSnn均在函数xfy的图像上.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设13nnnaab，nT是数列nb的前n项和，求使得20mTn对所有*Nn都成立的最小正整数m.18.（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体1111DCBAABCD中，p是侧棱1CC上的一点，mCP.（Ⅰ）试确定m，使得直线AP与平面11BBDD所成角的正切值为23；（Ⅱ）在线段11CA上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，QD1在平面1APD上的射影垂直于AP.并证明你的结论.19.（本小题满分10分）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布100,70N.已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.（Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的（部分）标准正态分布表00xxPx0x01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.88880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.985720.（本小题满分14分）设A、B分别为椭圆0,12222babyax的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x为它的右准线.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内.21.（本小题满分14分）设3x是函数Rxebaxxxfx32的一个极值点.（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求xf的单调区间；（Ⅱ）设0a，xeaxg4252.若存在4,0,21使得121gf成立，求a的取值范围.湖北省2006高考试题理科答案及解析一、选择题:1--5、BDABC；6--10、DDBCB；二、填空题：11、4；12、0.94;13、8或－18；14、20；15、r＋1，1/2。部分试题解析：10、解：本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令21xt(0)t①，则方程化为20ttk②，作出函数21yx的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t1时方程①有2个不等的根；（2）当0t1时方程①有4个根；（3）当t=1时，方程①有3个根。故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即104k此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程21xt的解有8个，即原方程的解有8个；当14k时，方程②有两个相等正根t＝12，相应的原方程的解有4个；故选B。14、解：考查有条件限制的排列问题，其中要求部分元素间的相对顺序确定；据题意由于丁必需在丙完成后立即进行，故可把两个视为一个大元素，先不管其它限制条件使其与其他四人进行排列共有55A种排法，在所在的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有33A种，故满足条件的排法种数共有553320AA。15、解：本题考查考生的类比归纳及推理能力，第一问对比杨辉三角的性质通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，故此时1xr，第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即012322341111113451nnnnnaCCCnCnC根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项111nnnC，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为12，故11121nnnanC，从而1111limlim212nnxxnanC。三、解答题：16、点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+2sin(2x+43).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22＝.（Ⅱ）由sin(2x+43)＝0得2x+43＝k.，即x＝832k,k∈Z，于是d＝（832k，－2），,4)832(2kdk∈Z.因为k为整数，要使d最小，则只有k＝1，此时d＝（―8，―2）即为所求.17．点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上，所以nS＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－)1(2)132nn（＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（nN）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13nnnaab＝5)1(6)56(3nn＝)161561(21nn，故Tn＝niib1＝21)161561(...)13171()711(nn＝21（1－161n）.因此，要使21（1－161n）20m（nN）成立的m,必须且仅须满足21≤20m，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.18、点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。解法1：（Ⅰ）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面11BDDB相交于点，,连结OG，因为PC∥平面11BDDB，平面11BDDB∩平面APC＝OG,故OG∥PC，所以，OG＝21PC＝2m.又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面11BDDB，故∠AGO是AP与平面11BDDB所成的角.在Rt△AOG中，tanAGO＝23222mGOOA，即m＝31.所以，当m＝31时，直线AP与平面11BDDB所成的角的正切值为32.（Ⅱ）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为D1O1⊥A1C1,且D1O1⊥A1A，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故D1O1⊥A