数学(基础模块)》下册-第十章

数学（基础模块）下册第十章概率与统计初步平面向量是一种既有大小、又有方向的量，它的应用非常广泛．例如，汽车从A点出发向东行驶3km到达B点，再向南行驶4km到达C点，如图所示．此时若要描述汽车与A点的位置关系，不仅需要给出汽车与A点之间的距离，还需要指明汽车相对A点的方向．这就需要大家了解平面向量的知识．•计数原理10.1•概率10.2•总体、样本与抽样方法10.3•用样本估计总体10.4•一元线性回归10.510.1计数原理10.1.1分类计数原理如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有1k种不同的方法，在第2类办法中有2k种不同的方法，……，在第n类办法中有nk种不同的方法，那么完成这件事的方法共有分类计数原理（加法原理）：12()nNkkk种…使用分类计数原理时应注意以下几点：（1）用其中任何一种方法均可独立完成这件事；（2）各类方法之间的关系是相互独立的；（3）同一类中的各种方法也是相对独立的．例题解析解这个学生任选一本书，有3类选法：第1类选法：选历史书，从6本书中任选一本，有6种方法；第2类选法：选文学书，从5本书中任选一本，有5种方法；第3类选法：选科技书，从7本书中任选一本，有7种方法．根据分类计数原理，可得不同的选法有65718()种．例1在读书活动中，教室里有6本不同的历史书、5本不同的文学书、7本不同的科技书．一个学生要从中任选一本，请问这个学生共有多少种不同的选法？如果完成一件事需要分成n个步骤，完成第1个步骤有1k种不同的方法，完成第2个步骤有2k种不同的方法，……，完成第n个步骤有nk种不同的方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有10.1.2分步计数原理分步计数原理（乘法原理）：12()nNkkk种…例2某人要从甲地途径乙地和丙地到丁地去，已知从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从丙地到丁地有2条路可走，请问此人从甲地到丁地有几种不同的走法？解此人从甲地到丁地可以分成3个步骤完成．第一步：从甲地到乙地，有4种走法；第二步：从乙地到丙地，有3种走法；第三步：从丙地到丁地，有2种走法．根据分步计数原理，可得不同的走法有43224()种．解要配出一套学习用具，需要分4步先后取出一个文具盒、一支圆珠笔、一支铅笔和一把尺子，它们的取法分别有5种、2种、4种和3种．这样，最终的取法有5243120()种，即最多可配出120套不同的学习用具．例3有5个不同的文具盒，2支不同的圆珠笔，4支不同的铅笔，3把不同的尺子．若从中各取出一个，配成一套学习用具，最多可配出多少套不同的学习用具？10.2.1随机事件10.2概率观察下列现象：（1）苹果熟了，会自动落到地上；（2）异性电荷，互相吸引；（3）常温下，石墨变成金刚石；（4）掷一枚骰子，出现的点数3；（5）罚点球，命中．像上述（1）、（2）、（3）这样，在一定条件下，事先就能断定发生或不发生的现象称为确定性现象；而像上述（4）、（5）这样，在一定条件下，可能发生、也可能不发生的现象称为随机现象．类似这种试验和观察称为随机试验，随机试验的结果称为随机事件，简称事件，常用大写字母ABC，，，…表示．如果用A表示某随机事件，则可以写作{}A事件的具体内容．例如，随机事件{A掷一枚骰子，6}出现的点数为．与随机事件相对，在一定条件下，必然要发生的事件称为必然事件，用Ω表示；在一定条件下，不可能发生的事件称为不可能事件，用表示．解（1）为必然事件；（2）、（4）为不可能事件；（3）、（5）为随机事件．例题解析例1下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？（1）导体通电，发热；（2）小河中的水由下游向上游流；（3）明年全国不会发生地震；（4）在标准大气压下，水在60℃时为气态；（5）在高速公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过100辆．设在50件商品中含有3件次品，若从中随机抽取3件商品，则事件{}{1}{1}ABC没有次品，含有件次品，次品不超过件之间存在着什么联系呢？由于“次品不超过1件”包括“没有次品”和“含有1件次品”两种情况，因此，事件C可以用事件A和事件B来进行描述，即事件C总是伴随着事件A或事件B的发生而发生．像事件A和B这样，作为试验和观察的基本结果，在试验和观察中不可再分的最简单的随机事件称为基本事件；像事件C这样，可以用基本事件来描绘的随机事件称为复合事件．我们已经知道，在相同条件下做试验，重复n次，若随机事件A发生了m次（0mn剟），则m称为事件A发生的频数；比值mn称为事件A发生的频率．历史上，曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，观察硬币落下后正面向上的情况，结果如表所示．抛掷次数正面向上的次数m正面向上的频率m/n204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500530000149840.499572088361420.5014由于在n次重复试验中，事件A发生的次数m总满足0mn剟，即01mn剟，因此，事件的概率具有以下性质：（1）对随机事件，0()1PA剟；（2）对于必然事件，()1PΩ；（3）对于不可能事件，()0P．对于给定的随机事件A，当试验次数充分大时，如果事件A发生的频率mn稳定在某个常数上，那么，就把这个常数称为事件A发生的概率，记作()PA．例题解析（2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？投篮次数n8101520304050进球次数m681217253238进球频率m/n（1）计算表中进球的频率；解（1）进球的频率分别为6812170.750.80.80.858101520，，，，2532380.830.80.76304050，，．（2）由于进球频率都在0.8左右摆动，故这位运动员投篮一次，进球的概率约为0.8．抛掷一枚骰子，可能出现的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点．由于骰子的材质是均匀的，所以出现每个点数的可能性是相等的，都是16．10.2.3古典概型上面的试验有以下两个特点：（1）试验中所有可能出现的基本事件为有限个；（2）每个基本事件发生的可能性都相等．我们把满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．在古典概型中，如果一次试验的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件的个数为m，那么事件A发生的概率为()mPAn．设{}A取到红球，则A是三个基本事件中的一个，即1m，故事件A发生的概率为例3袋子中有2个白球和1个红球，从袋子中任取1个球，求取到红球的概率．解这是古典概型问题．将白球分别标记为1号和2号，则从袋子中任取1个球可能会取到白球1号、白球2号或红球，而这三个基本事件出现的可能性是相等的．1()3mPAn．例4在英语考试中，小兰的成绩在90分以上的概率为0.15，在8089分的概率为0.54，在7079分的概率为0.18，在6069分的概率为0.07，计算小兰在英语考试中取得80分以上成绩的概率和小兰考试及格的概率．例题解析解分别记小兰成绩在90分以上、8089分、7079分、6069分为事件ABCD，，，．由于这四个事件是互斥的，所以可以利用互斥事件的概率加法公式得出：小兰成绩在80分以上的概率为()()()0.150.540.69PABPAPB．小兰考试及格的概率为()()()()()PABCDPAPBPCPD0.150.540.180.070.94．10.3总体、样本与抽样方法10.3.1总体与样本某部队想知道1000枚某型号炮弹的杀伤半径，从中选取了10枚炮弹进行发射实验，以考察这一批炮弹的杀伤半径．在统计中，所研究对象的全体称为总体，组成总体的每个对象称为个体．从总体中抽取的考察对象的集体称为总体的一个样本，样本中所含个体的数目称为样本容量．这1000枚炮弹的杀伤半径为研究对象的总体，每个炮弹的杀伤半径为研究的个体，从中抽取的10枚炮弹的杀伤半径为一个样本，样本容量为10．解该地所有婴儿的体重为总体，每个婴儿的体重为个体，被抽取的100名婴儿的体重是样本，样本容量为100．解该校所有学生的期末英语成绩为总体，每个学生的期末英语成绩为个体，被抽取的300个学生的期末英语成绩为样本，样本容量为300．例题解析例1为了掌握某地新生婴儿的体重情况，随机在几个医院中抽取100名婴儿测量体重．请指出其中的总体、个体、样本及样本容量．例2为研究某校学生的期末英语成绩，在该校所有学生中随机抽取300人进行调查．请指出其中的总体、个体、样本及样本容量．10.3.2抽样方法1．简单随机抽样设一个总体含有有限个个体，且其个体总数为N，如果通过逐个抽取（不放回）的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个体被抽到的概率相等，则这样的抽样称为简单随机抽样．如何实施简单随机抽样呢？下面介绍两种常用的方法．（1）抽签法（2）随机数法（1）抽签法抽签法（俗称抓阄法）是最常用的简单随机抽样方法，主要步骤为：①将总体中的所有个体（共有N个）编号，并把号码写在签上；②把做好的签放到箱子里，搅拌均匀后，从中逐个抽出n个签，得到一个容量为n的样本．（2）随机数法采用随机数法抽样时，主要步骤为：①将总体中的N个个体编号；②指定随机号的范围，利用计算器产生n个有效的随机号（范围之外或重复的号无效），得到一个容量为n的样本．解将计算器的精确度设为0.01，取小数点后面两位数作为抽取的学号，如果超过60就舍去，重复的也舍去．这样，用计算器得到的随机数为0.180.410.470.360.080.30，，，，，，0.500.300.280.140.040.92，，，，，．所以，抽取的学号为184147368305028144，，，，，，，，，．例3年级主任要抽查某班的数学考试试卷，此班有60人，学号为160，请利用随机数法从中抽出10名同学的试卷．例题解析②确定分段间隔，一般用Nn（取整数）作间隔分段，将总体分成n段；2．系统抽样当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分中抽取一定数目的个体，得到所需要的样本，这种抽样称为系统抽样．从容量为N的总体中，采用系统抽样抽取容量为n的样本时，主要步骤为：①将总体的N个个体进行编号；③按事先确定的规则抽取样本，如抽取每段的第k个顺序号的个体，得到容量为n的样本．解先将这1000名学生进行编号1231000，，，…，．将1000名学生分为50段，每段20名学生，按规定抽取各段第8个顺序号的学生，得到容量为50的样本．其学生号码依次为82848988，，，…，．例4为了解参加奥数的1000名学生的成绩，利用系统抽样，抽取一个容量为50的样本．请你来完成这个抽样．例题解析3．分层抽样当总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本能更充分地反映总体的情况，通常将总体分成几个部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样称为分层抽样，其中所分成的各部分称为层．我市的研究生有7500人，重点本科学生有45000人，普通本科学生有63000人，现要考察我市大学生的综合素质，应如何进行抽样？对分层抽样的每一层进行抽样时，可采用简单随机抽样或系统抽样．解因重点班、普通班、体育班的人数比例为3143：：，所以100份试卷应按此比例来分配，即从重点班、普通班、体育班中抽取的试卷分别为15份、70份、15份．例5某学校高二年级学生共有1000人，其中，重点班150人，普通班700人，体育班150人．为了解学生期中数学考试的得分情况，现要从中抽取100份试卷，如何进行抽样？例题解析10.4用样本估计总体10.4.1用样本的频率分布估计总体用样本的频率分布估计总体的步骤为：（1）选择恰当的抽样方法得到样本数据；（2）找出数据的最大值、最小值，确定组距和组数，确定分点，并列出频率分布表；（3）绘制频率分布直方图；（4）观察频率分布表与频率分布直方图，根据样本的频率分布，估计总体中某事件发生的概率．168170162163165160154163153