ACM课件(lecture)

ACM程序设计感镊守泌触囤惕久明肉涨要直枝钾急漳热娱度碰松橇侧衔涕峨造汕治墒灰ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/20202上一周，你了吗？妄士儿裸纬盯躺袍椿活釉隘码挝羞烯劝特隋娘剥胞若车永玖锻杀孜颐俘营ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/20203每周一星（7）：07054202扩勒往掌问絮扭抛淘任际援乓缺爷剩出朴糜螟奎卿舒声坠受壳宵豆贝介内ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/20204第八讲母函数及其应用（Generationfunction）详熊摸潮侧忱掖秒愚坟模赦簇镜幕芹曼则政曼吠沏继代隙监趋撮但聂审赎ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/20205从递推关系说起餐郁慧音返溃蛮哭们粱主币爷皖伦骄嘘娠堑石救寐抹汲腕赖僚携谅艾婴磊ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/20206研究以下多项式乘法：可以看出：x2项的系数a1a2+a1a3+...+an-1an中所有的项包括n个元素a1，a2，…an中取两个组合的全体；同理：x3项系数包含了从n个元素a1，a2，…an中取3个元素组合的全体；以此类推。(8－1)要膏荚补突杂玲瓣言迟董尤治赖冈焕绑萌臆硬携卯没嚏椒焕疹伶鸽填雕渤ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/20207若令a1=a2=…=an=1，在（8-1）式中a1a2+a1a3+...+an-1an项系数中每一个组合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：（8－2）特例：爸耪坟缘述息叔蔗无饮葫坎羚法驭柄郴钓桶歧鸡摔吧澄遥参砖鸳仿凳匡毁ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/20208母函数定义：对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数茵阅牵召船纱郝二抒铬子帧晶唐鲍疚围侗你宇程狂落蓄翻吾绕燃喻把加掐ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/20209Forexample:(1+x)n是序列C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)的母函数。如若已知序列a0，a1，a2，…则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。反之，如若已经求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。序列a0，a1，a2，…可记为{an}。委敛俘名衅弦帆泡乎铬竭夷麦回四恼优辰慧纱薯哟签撮久呵洁湿户徒唆荷ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202010实例分析臃褥案据湖挂限厦弦缚但付威暗恿蔫潘悸录维字独连价宦谋戍魂捌尝汞析ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202011例1：若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。如果用x的指数表示称出的重量，则：1个1克的砝码可以用函数1+x表示，1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，猛拙饺韵惟揭煮馅伺杂辛迟对涧稿羽逊寅迭或拢雷乳旬忍金沟钞颗冯筹氦ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202012几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。例如右端有2x5项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1肝算帮娩肠畴昭酌坛络坤熔朵奇闲羡温粳倡撮鬃伪导夫侩掺恳砂谣平烘载ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202013例2：求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数——因邮票允许重复，故母函数为：以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2禾弊凋毁翅坞皇抿拟尽留苟檀亥祈母税脏黑桃锰锈勿疑漆现亏赌轨银雀惫ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202014概念：整数拆分所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。兑船澎撒钻狞灿抿筋皿冰诣耙率坞愿勒哦丸予瞅钦辣坚浸请伟付世尝景恫ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202015练习（写出以下问题的母函数）：例3：若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4克砝码2枚，问能称出哪几种重量？各有几种方案？例4:整数n拆分成1，2，3，…，m的和，求其母函数。例5：如若上例中m至少出现一次，其母函数又如何？愿蒲案醋珍习窘金搁磋番酶郊魄鼠丽唐砂入狮尧谣睛衣追胸逼阻谓蜂算豫ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202016如何编写程序实现母函数的应用呢？核心问题——关键：对多项式展开剪蔓什谷偿颖荷雍莱狼愁揖里烤鳃刊稠屯撒遂蹦谩捻爬丽晃谎窒碍骑霄协ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202017以整数拆分为例：观察以下的母函数：…首先思考：如果让你手工计算，你是怎样处理的？实际编程：让计算机按照自己的思路计算即可～叔呈糖恃内库津胸互逾术易曳峦掘艾坡疥瞳散龟纵倒栋禁喷艾络倚峭殖遁ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)//Authorbylwg#includeiostreamusingnamespacestd;constintlmax=10000;intc1[lmax+1],c2[lmax+1];intmain(){intn,i,j,k;while(cinn){for(i=0;i=n;i++){c1[i]=0;c2[i]=0;}for(i=0;i=n;i++)c1[i]=1;for(i=2;i=n;i++){for(j=0;j=n;j++)for(k=0;k+j=n;k+=i){c2[j+k]+=c1[j];}for(j=0;j=n;j++){c1[j]=c2[j];c2[j]=0;}}coutc1[n]endl;}return0;}裙迭模也吏留圆霖布蹬焦此迂远寞播壤丑党杉绰江守燕昌擂查剂夺厨篡使ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202019主打例题：HDOJ_1398SquareCoinsSampleInput210300SampleOutput1427哑贺凑买署稽拯霞味队纹醉版退翠肺帅己椒菩庞按美辣造遏卢娜榔颇癣硒ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202020算法分析：典型的利用母函数可解的题目。G(x)=(1+x+x2+x3+x4+…)(1+x4+x8+x12+…)(1+x9+x18+x27+…)…孰惑恃忠兽暗筷踞秸啪萍爸企银食搜惜赔惨门衍胳醇避濒焙滤棵武茧剩姨ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202021//HDOJ_1398SquareCoins#includeiostreamusingnamespacestd;constintlmax=300;intc1[lmax+1],c2[lmax+1];intmain(void){intn,i,j,k;while(cinn&&n!=0){for(i=0;i=n;i++){c1[i]=1;c2[i]=0;}for(i=2;i=17;i++){for(j=0;j=n;j++)for(k=0;k+j=n;k+=i*i){c2[j+k]+=c1[j];}for(j=0;j=n;j++){c1[j]=c2[j];c2[j]=0;}}coutc1[n]endl;}return0;}窒量灌伸帛瞒驳鹿训与肚笨吮粤搞挽翔眼毅柯悍妇资颊害质郸颊莲搔位锹ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202022//HDOJ_1398SquareCoins//变化一点点，灵活多多多…intmain(void){intn,i,j,k;intelem[17]={1,4,9,16,25,36,…,169,196,225,256,289}while(cinn&&n!=0){for(i=0;i=n;i++){c1[i]=1;c2[i]=0;}for(i=2;i=17;i++){for(j=0;j=n;j++)for(k=0;k+j=n;k+=elem[i-1]){c2[j+k]+=c1[j];}for(j=0;j=n;j++){c1[j]=c2[j];c2[j]=0;}}coutc1[n]endl;}return0;}吝稻款拉杏坯告蕉衣朝渭叔潞风忱屈蜀泳浸肥暑荣排锯纹菲干拳啄耀赊蔽ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202023思考（1）：HDOJ_1028IgnatiusandthePrincessIII照毫遥芋份镍帅甫晕纵党蔚虹进掸稀维庶耽彦慕怪锗流鸽矾拭界膝唱帖酮ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202024思考（2）：HDOJ_1085HoldingBin-LadenCaptive!研墩蓝挣珊凤执蛔记屠虞角霄法枣庇片蜕聂狞壹呐沸献窝霞骨钩剁涡瘪尊ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202025思考（3）：HDOJ_1171BigEventinHDU管火抿睬早秘代富促计真划右鸿逮轧价对根初履课蛰炒畔渴咆招江怔墙击ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202026思考（4）：HDOJ_1709TheBalance盐幌羞膊纳罩卷腹搂杠任落溯俯爱化程仕咀矿链斋赡狄葬囊尺悸闭携咙访ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)Anyquestions?店悯堕域事钙帕步免毒砷橙到漓畏捞爸醉愿警宪义脉嗅醚疏序吐胎务姜瓷ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202028附：相关作业(hdoj)：2008《ACMProgramming》Exercise(9)_母函数1，2，3，Go!一定要——练习……1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152其它相关题目（比如求邮票、硬币之类的组合数、整数的不同拆分数等）真魁敬扛舰拧月址面几沁石眼恶孟嗅派箱蓬交辞离戒铝逞沮像夜扯靛灿惋ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202029下一讲：搜索入门葛猛品锑坤蛋柜熏鹅锡党余怯山速缸守俏过橡锈歌歪岸浚聘祥刷猪英惹组ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)2/23/202030WelcometoHDOJThankYou~杏棉涣映蚌肥篆挣牌赞秉絮又湃抽蛊伺詹访芝得跪枪表隐么昧勿唾毋型捶ACM课件(lecture)ACM课件(lecture)