一轮复习-直线、平面垂直的判定及其性质

直线、平面垂直的判定及其性质直线和平面的位置关系复习1直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行线面垂直大桥的桥柱与水面的位置关系思考1直线和平面垂直旗杆与地面中的直线的位置关系如何？将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？思考2思考3一条直线与一平面垂直的特征是什么？特征：直线垂直于平面内的任意一条直线．BACBC直线和平面垂直如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直.定义lP平面的垂线直线l的垂面垂足平面内任意一条直线l记为如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？思考4lα线面垂直的判定判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．balAalblabAbal作用：判定直线与平面垂直．直线与平面垂直直线与直线垂直思想：例2已知：正方体中，AC是面对角线，BD'是与AC异面的体对角线.求证：AC⊥BD'ABDCA′B′CD′′证明：连接BD因为正方体ABCD-A'B'C'D'所以DD‘⊥平面ABCD又因为所以因为AC、BD为对角线所以AC⊥BD因为DD'∩BD=D所以AC⊥平面D'DB所以AC⊥BD'ABCDAC平面'DDACABDCA′B′C′D′例3在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.PABCD如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，？ABCDDCBAABCDDBCAAABBCCDD答：底面四边形ABCD对角线相互垂直．探究直线与平面垂直的判定定理可简述为“线线垂直，则线面垂直”通过直线间的垂直，推证直线与平面垂直，即将直线与平面的垂直关系（空间问题）转化为直线间的垂直关系（平面问题）.思想方法前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？问题提出直线与平面所成的角线面角相关概念αP斜线PA与平面所成的角为PABl平面的斜线A斜足A斜线PA在平面内的射影垂足BB平面的垂线1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角)90,0(0]90,0[02.平面的垂线与平面所成的角为直角3.一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角的00角一条直线与平面所成的角的取值范围是例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO例2如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO⊥平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知∠ABC=60°，OBC=45°，求斜线AB和平面α所成的角.ABCOαD如图，∠BAD为斜线AB与平面α所成的角，AC为平面α内的一条直线，那么∠BAD与∠BAC的大小关系如何？DαCAB∠BAD〈∠BACE解：作BOAD于O，BEAC于E，则BDBEsinBADsinBAC思考1o平面与平面垂直的判定概念直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面.半平面半平面射线射线概念从一点出发的两条射线，构成平面角.同样,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.m记为：二面角-m-记作AOBABO二面角的图示二面角的记号（1）以直线为棱，以为半平面的二面角记为：ll,（2）以直线AB为棱，以为半平面的二面角记为：,ABlAB如何用平面角来表示二面角的大小？探究lαβOABlαβOAB二面角-l-二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角∠AOB即为二面角α-AB-β的注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内.（3）角的边都要垂直于二面角的棱.二面角的取值范围]0[180,000，或0度角180度角lαβ00~1800例1.在正方体中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指出大小.端点B1C1D1A1ABCDMN例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B的正切值.AA1BCDB1C1D1O小结二面角的平面角的作法：1.定义法：根据定义作出来.2.作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到.3.应用三垂线定理：应用三垂线定理或其逆定理作出来.oABoAoABBllll平面与平面垂直的判定第2课时平面与平面垂直的判定定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.αβaAb记为判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．αβaAaa面面面垂直线面垂直线线垂直例1如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.PABCO证明:,PABC面面BCPA为圆的直径又ABBCACPAACABCPAC面PACPBC面面BCPBC面PABCACBCPAPACACPAC面面例2在四面体ABCD中，已知AC⊥BD,∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，求证：平面ABC⊥平面ACD.ABCDE例3如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面PCD.PABCDMEF,ABBCDBCCD已知面请问哪些平面互相垂直的,为什么?ABCBCD面面ABCACD面面ABDBCD面面ABBCD面CDABC面ABBCD面探究：ABCD直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的判定定理是什么？复习直线与平面垂直的定义是什么？aαa思考1如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？AA1BCDB1C1D1思考2如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直线a，b的位置关系如何？ablablabl相交平行异面思考3如果直线a，b都垂直于平面α，那么a与b一定平行吗？abab垂直于同一个平面的两条直线平行//aabb直线与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质复习1αβlαβlγ两个平面相互垂直三个平面两两垂直两个平面垂直的判定判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．复习2αβl1.黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？αβ两个平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.面面垂直线面垂直αβaAllaala结论BαβA如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内.例1.如图，已知α⊥β，a⊥β，a，试判断直线l与平面α的位置关系，并说明理由.αβAbal例2如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2，,侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.2BCPABCDE对于三个平面、、，如果，，β，=l，那么直线l与平面的位置关系如何？为什么？αβlab解答：在内分别作平面的垂线a、b，则al,bl,a与b必相交.所以l⊥