第四节 基本不等式及其应用

总纲目录教材研读考点突破栏目索引第四节基本不等式及其应用总纲目录教材研读考点突破栏目索引总纲目录总纲目录教材研读1.基本不等式考点突破2.几个重要的不等式3.利用基本不等式求最值考点二常数代换或消元法求最值考点一利用配凑法求最值考点三基本不等式的实际应用总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读1.基本不等式(1)基本不等式 ≤ 成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当①a=b时等号成立.(3)其中② 称为正数a,b的算术平均数,③ 称为正数a,b的几何平均数.ab2ab2abab教材研读总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥④2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(2)ab≤ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(3) ≥ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(4) + ≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.22ab222ab22abbaab总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读3.利用基本不等式求最值已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤x=y时,x+y有最⑥小值,是⑦2 .(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧x=y时,xy有最⑨大值,是  .(简记:和定积最大)p24s总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知a,b,x,y∈R+,若ax+by=1,则有 + =(ax+by) =a+b+ + ≥a+b+2 =( + )2.(2)已知a,b,x,y∈R+,若 + =1,则有x+y=(x+y) =a+b+ + ≥a+b+2 =( + )2.1x1y11xybyxaxyababaxbyabxyayxbxyabab总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读1.下列不等式中正确的是 ()A.若a∈R,则a2+96aB.若a,b∈R,则 ≥2C.若a,b0,则2lg ≥lga+lgbD.若x∈R,则x2+ 1abab2ab211xC答案C∵a0,b0,∴ ≥ .∴2lg ≥2lg =lg(ab)=lga+lgb.2abab2abab总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读2.设x0,y0,且x+y=18,则xy的最大值为 ()A.80B.77C.81D.82C答案C∵x0,y0,x+y=18,∴18=x+y≥2 ,即 ≤9,∴xy≤81.故xy的最大值为81.xyxy总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读3.已知x,y0且x+4y=1,则 + 的最小值为 ()A.8B.9C.10D.111x1yB答案B∵x+4y=1(x,y0),∴ + = + =5+ ≥5+2 =5+4=9 当且仅当x=2y= 时,取等号 .1x1y4xyx4xyy4yxxy4yxxy13总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读4.若x1,则x+ 的最小值为.41x5答案5解析x+ =x-1+ +1≥4+1=5.当且仅当x-1= ,即x=3时等号成立.41x41x41x总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读5.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.答案2 2解析∵x2+2y2≥2 =2 xy=2 ,当且仅当x= y时取“=”,∴x2+2y2的最小值为2 .222xy2222总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破典例1(1)已知x ,求f(x)=4x-2+ 的最大值.(2)求函数y= 的最大值.54145x131xxx考点一利用配凑法求最值考点突破解析(1)因为x ,所以5-4x0,则f(x)=4x-2+ =- +3≤-2 +3=-2+3=1.54145x15454xx1(54)54xx总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破当且仅当5-4x= ,即x=1时,等号成立.故f(x)=4x-2+ 的最大值为1.(2)令t= (t≥0),则x=t2+1,所以y= = .当t=0,即x=1时,y=0;当t0,即x1时,y= ,因为t+ ≥2 =4(当且仅当t=2时取等号),所以y= ≤ ,154x145x1x213ttt24ttt141tt4t4141tt15即y的最大值为 (当t=2,即x=5时y取得最大值).15总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破规律总结(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正、二定、三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后利用基本不等式求解.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破1-1若∀x≥1,不等式x+ -1≥a恒成立,则实数a的取值范围是.11x1,2答案 1,2解析因为函数f(x)=x+ -1在[1,+∞)上单调递增,所以函数g(x)=x+1+ -2在[0,+∞)上单调递增,所以函数g(x)在[1,+∞)的最小值为g(1)= ,因此∀x≥1不等式x+ -1≥a恒成立,所以a≤g(x)最小值= ,故实数a的取值范围是 .1x11x1211x121,2总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破1-2函数y= (x1)的最小值是.221xx答案2 +23解析∵x1,∴x-10.∴y= = = = =x-1+ +2≥2 +2=2 +2.当且仅当x-1= ,即x=1+ 时,取等号.221xx22221xxxx2212(1)31xxxx2(1)2(1)31xxx31x3(1)1xx331x3总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破典例2(1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是.(2)已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.考点二常数代换或消元法求最值总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破答案(1)5(2)6解析(1)由x+3y=5xy,得 + =5(x0,y0),则3x+4y= (3x+4y) =  ≥  = ×(13+12)=5.当且仅当 = ,即x=2y时,等号成立,此时由 解得 3x1y1531xy1512313yxxy15123132yxxy1512yx3xy2,35,xyxyxy1,1.2xy总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破(2)由已知得x= .因为x0,y0,所以0y3,所以x+3y= +3y= +3(y+1)-6≥2 -6=6,当且仅当 =3(y+1),即y=1,x=3时,(x+3y)min=6.931yy931yy121y123(1)1yy121y总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破规律总结1.利用基本不等式求最值的两种思路利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有两种思路:(1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破2.条件最值的求法条件最值的求解通常有三种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值;三是对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.[提醒]尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破同类练(1)已知正数x,y满足x+2y-xy=0,那么x+2y的最小值为 ()A.8B.4C.2D.0(2)已知x0,y0且x+y=1,则 + 的最小值为.8x2y总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破答案(1)A(2)18解析(1)由x0,y0,x+2y=xy,得 + =1,则x+2y=(x+2y)· = +2+2+ ≥4+2 =8,当且仅当 = ,即x=2y时等号成立,故x+2y的最小值为8.(2)因为x0,y0,且x+y=1,所以 + = (x+y)=10+ + ≥10+2 =18,当且仅当 = ,即x=2y时等号成立,所以当x= ,y= 时, + 有最小值18.1y2x12yxxy4yx4xyyxxy4yx8x2y82xy8yx2xy82yxxy8yx2xy23138x2y总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破变式练已知直线ax+by+c-1=0(b,c0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则 + 的最小值是 ()A.9B.8C.4D.24b1cA总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破答案A圆x2+y2-2y-5=0化成标准方程,得x2+(y-1)2=6,所以圆心为C(0,1).因为直线ax+by+c-1=0经过圆心C,所以a×0+b×1+c-1=0,即b+c=1.因此 + =(b+c) = + +5.因为b,c0,所以 + ≥2 =4.当且仅当 = 时等号成立.4b1c41bc4cbbc4cbbc4cbbc4cbbc由此可得b=2c,且b+c=1,即b= ,c= 时, + 取得最小值9.23134b1c总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破深化练已知不等式(x+y) ≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 ()A.2B.4C.6D.81axyB答案B因为a0,所以(x+y) =1+a+ + ≥1+a+2 =(1+ )2,由题设可知(1+ )2≥9,所以1+ ≥3,即a≥4.∴a的最小值为4.1axyyxaxyaaaa总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破典例3某厂家拟在2019年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3- (k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?1km考点三基本不等式的实际应用总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破解析(1)由题意知,当m=0时,x=1,∴1=3-k⇒k=2,∴x=3- ,每件产品的销售价格为1.5× (元),∴y=1.5x× -8-16x-m=- +29(m≥0).(2)∵m≥0时, +(m+1)≥2 =8,当且仅当 =m+1,即m=3时,取等号,∴y≤-8+29=21.故该厂家2019年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.21m816xx816xx16(1)1mm161m16161m总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破易错警示对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不等式求最值.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破3-1(2018广东惠州质检)某工厂去年某产品的年销售量为100万件,每件产品的销售价为10元,每件产品的固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万件,第n次投入后,每件产品的固定成本为g(n)= (k0,k为常数,n∈N),若产品销售价保持