第四节 多元复合函数与隐函数的微分法

第四节多元复合函数与隐函数的微分法2020/2/17学习目标：掌握复合函数的求导法则能利用复合函数的求导法则求复合函数的偏导数能利用二元隐函数的求导公式求隐函数的偏导数复习回顾2一元复合函数求导法则微分法则链式法则:(),()[()]yfuuxyfxddddddyyuxuxd()d()()dyfuufuxxyux复习回顾二元函数全微分的定义3AxBy00(,)(,)zfxyxy函数在点处的全微分，0000(,)(,)xyxyzzABxy其中，，zzdzdxdyxy即，多元复合函数的求导法则4定理.设一元函数(),(),uxvxx在点处均可导(,)zfuv二元函数(,)xuv在的对应点处有zzuv一阶连续偏导数，((),())zfxyx则复合函数对的导数存在，且为.dzzduzdvdxudxvdx证明见课本第51页多元复合函数求导问题比较复杂，不妨先从最特殊的情况考查多元复合函数的求导法则说明：上面定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.例如：5dzzduzdvzdwdxudxvdxwdx链式法则:uvxzuvwxz链式法则:多元复合函数的求导法则的应用62413,,sin,xdzzuvuvuevxdx例，求解dzzduzdvdxudxvdx423,zuvvu2312,zuuvv,xduedxcos,dvxdx423(23)(12)cosxuvveuuvx423(2sin3sin)(12sin)cosxxxxexxeeexx多元复合函数的求导法则的应用7,sin,cos,ydzzxxtytdt例2，设求解1,yzyxxln,yzxxycos,dxtdtsin,dytdtdzzdxzdydtxdtydt1cosln(sin)yyyxtxxtcos11cos2sincossinlnsintttttt多元复合函数的求导法则思考：8前面的中间变量是一元函数，即(),()uxvx(,)zfuv对于二元函数但，如果中间是二元及以上的函数，那如何求导？(,)uxy(,)vxy多元复合函数的求导法则9[(,),(,)]zfxyxyxy对与的偏导数存在，且(,)(,)(,)zfuvuxyvxy设二元函数可微，和的一阶偏导数都存在，此时对于复合函数,zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy多元复合函数的求导法则对应的链式法则如图示10uvxzyzxzuuxzv,vxzyzuuyzv.vy多元复合函数的求导法则的应用11sin,,uzzzevuxyvxyxy例3，设而求，解zzuzvxuxvxsincos1uuevyev(sincos)ueyvvzzuzvyuyvysincos1uuevxev(sincos).uexvv多元复合函数的求导法则的应用122222,(2),,,;zzzfzfxyxyx例4设可微求zxzy22zx22222(2)2(2)2fxyxfxyx222222(2)4(2)fxyxfxy22(2)2fxyx222(2);xfxy22(2)(4)fxyy224(2).yfxy22222(2)2[(2)]xfxyxfxy隐函数的求导公式一元隐函数的求导公式13(,0)()Fxyyfx设方程确定了隐函数将其代入方程得(,())0Fxfxx两端对求导，得0xydyFFdx0,yF若则有xyFdydxF隐函数的求导公式14221,dyxydx例5求22(,)1,Fxyxy解因为,''2,2xyFxFy''xyFdydxF所以22xxyy隐函数的求导公式二元隐函数的求导公式15(,,)0(,),Fxyzzfxy若方程确定了隐函数(,)zfxy将代入方程，得[,,(,)]0Fxyfxy,xy两端对求偏导数，得0,xzzFFx0yzzFFy0,zF若yzFzyFxzFzxF则有，隐函数的求导1622226234,,,zzzxyzxxyxy例求222(,,)234,Fxyzxyzx解令则'24,xFx''xzFzxF得24263xxzz''yzFzyF4263yyzz''4,6yzFyFz隐函数的求导1722()3zxxyyz221()3xzzy222()33xyzz22(2)9xyz2222240,.zxyzzx例7设求222(,,)4Fxyzxyzz解，设2,xFx则，'21()3yxz24zFz隐函数的求导18223(2)(2)zxzxzFzxF22xxzzx两边对求导22()2zxxxz2(2)(2)zzxxz隐函数的求导公式1920(,)xyzezezzxy例8求由方程所确定的函数的偏导数(,,)2,xyzFxyzeze解，令,xyFyex则，2,zFez,xyFxeyxzFzxF2xyzyee(20)2xyzzyeeezyyzFF2xyzxee2xyzxee多元复合函数与隐函数的求解2022221.(,,),sin,,xyzuuufxyzezxyxy已知求224222sin2(12sin)xyxyxxyeux22424sin2(sincos)xyxyyxyyeuyxyzxyuxy提示：答案：多元复合函数与隐函数的求解212222ln(),,.xyzuvuevxyzzxy设，而，求zuvxyxy提示：3.sin,,cos,tdzzuvtuevtdt设求d(cossin)cosdtzetttt答案：多元复合函数与隐函数的求解22.(,)sin,yfxyzxyzzzxy4已知函数有方程确定，求coszyzxzxy答案：，coszxzyzxy5.课本第56页：38、40、42、44、48、56、58、60题归纳梳理23.(,),(,),(,)zfuvuxyvxy1二元函数其中则(,,)0(,),Fxyzzfxy2.若方程确定了隐函数则有xzFzxF，zzuzvyuyvy,zzuzvxuxvxyzFzyF课外作业24课本第56-57页：39、43、47、51、55、59题2020/2/17