9.5棱柱

柱、锥和球及其简单组合体问题1：观察下面的实物图片,这些图片中的物体具有怎样的形状?属于哪种空间几何体?多面体顶点面棱ＢＡＤＣＢ１Ａ１Ｄ１Ｃ１由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱.棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.多面体分类：按多面体面数分类，如四面体、五面体、六面体等.合作探究ABA1B1CC1B1BA1A1AAB1BCCC1C1DDD1D1EE1FF1观察左侧几何体并思考：具有哪些几何特征？两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行.有由这些面所围成的几何体叫做棱柱.1、棱柱的定义如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫做棱柱．．底面侧棱侧面相邻两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.③侧棱棱柱的元素①底面②侧面两个互相平行的面叫做棱柱的底面.其余各面叫做棱柱的侧面；.侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.④顶点顶点平移起止位置的两个面叫做(1).用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1(2).用表示一条对角线端点的两个字母表示，如：棱柱AC1BCDABCDA1A1A1B1B1B1C1C1C1D1D1E1ABCAE2、棱柱的表示法按侧棱与底面是否垂直可分为：1）侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱DABCEFF’A’E’D’B’C’2）侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱3）底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱按底面的边数分为：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱注:这两种分类彼此可渗透,例如斜三棱柱,直四棱柱,正五棱柱等.观察下列棱柱并思考：棱柱具备哪些性质?ABCDA1A1A1B1B1B1C1C1C1D1D1E1ABCABCDE1.侧棱都相等，侧面是平行四边形；2.两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；3.过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形（1）侧棱垂直于底面，各侧棱长都相等，并且等于正棱柱的高；（2）两个底面中心的连线是正棱柱的高．正棱柱所有侧面的面积之和，叫做正棱柱的侧面积．正棱柱的侧面积与两个底面面积之和，叫做正棱柱的全面积．观察正棱柱的表面展开图，可以得到正棱柱的侧面积、全面积计算公式分别为Sch正棱柱侧2SchS底正棱柱全c其中，表示正棱柱底面的周长,h表示正棱柱的高,S底表示正棱柱底面的面积．VSh底正棱柱例1已知一个正三棱柱的底面边长为4cm，高为5cm，求这个正三棱柱的侧面积和体积．解正三棱锥的侧面积为S侧＝ch＝3×4×5＝60（2cm）．由于边长为4cm的正三角形面积为223443cm4所以正三棱柱的体积为3435203cmVSh底1、棱锥的概念我们常见的帐篷或金字塔等一些物体，都给我们以顶尖底平的形象定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做2、相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱3、各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高1、这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫做棱锥的侧面如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥SABCDEO1.用顶点及底面各顶点字母表示棱锥,如：棱锥Ｓ－ＡＢＣ2.用顶点及底面一对角线字母表示，如：棱锥Ｓ－ＡＣ2、棱锥的表示法ＢＣＢＣＡＳＳＡＤＥ3、棱锥的分类按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等五棱锥三棱锥四棱锥4、特殊的棱锥－正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫正棱锥正三棱锥正五棱锥(正多边形的外接圆(内切圆)圆心叫正多边形中心)ＯＳＡＢＣＤＥＦＨ正棱锥的性质（１）、各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，叫做正棱锥的斜高（２）、正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。（３）、正棱锥侧棱与底面所成的角都相等，侧面与底面所成的二面角都相等棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图/h/h正棱锥的侧面展开图棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图h'h'侧面展开正棱锥的侧面展开图1(,)2Schch正棱锥侧为底面周长为斜高ShV31（其中S为底面面积，h为高）经过探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱体积的．即棱锥的体积：31锥体体积例2如图，正三棱锥P-ABC中，点O是底面中心，PO＝12cm，斜高PD＝13cm．求它的侧面积、体积2cm3cm，体积精确到1）．（面积精确到0.1解在正三棱锥P-ABC中，高PO＝12cm，斜高PD＝13cm．在直角三角形PBD中，222213125cmCDPDPO．在底面正三角形ABC中，CD＝3OD＝15（cm）．所以底面边长为3cmAC．所以侧面积与体积分别约为211310313337.7cm.22Sch侧23111(103)sin6012520cm332VSh正棱锥底．圆柱及相关概念1．定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。2．相关概念：（1）圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴；（2）圆柱的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆柱的高；（3）圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；（4）圆柱的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；（5）圆柱的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱的母线。圆柱侧面轴母线底面记作：圆柱OO’母线圆柱的侧面圆柱的侧面3．圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO’.4．圆柱具有以下性质：（1）圆柱的底面是两个半径相等的圆，圆的半径等于矩形的边的长，两圆所在的平面互相平行；（2）通过轴的各个截面是叫做轴截面，轴截面是全等的矩形；（3）母线平行且相等，它们都垂直于底面，它们的长等于圆柱的高.问题：圆柱的侧面展开图中的长与圆柱底面的周长有什么关系，宽与圆柱的高有什么关系？底面底面底面底面底面底面底面底面底面底面底面底面底面底面的周长底面高底面周长×高圆柱的侧面积+两个底面的面积圆柱的表面积=S表面积=2πr×h+2×πr2侧面底面底面圆柱的体积公式推导再看一遍图形的演示过程。圆柱的体积公式推导圆柱的体积公式推导分成的份数越多，就越接近长方体。观察实物教具的演示，回答问题。圆柱的体积圆柱体长方体圆柱体的体积底面积底面积高高=×=×V=Sh公式推导长方体的体积例3已知圆柱的底面半径为1cm，体积为5πcm3，求圆柱的高与全面积．解由于底面半径为1cm，所以π5πh解得圆柱的高为5h（cm）．所以圆锥的全面积为22()12cmSrhr圆柱全pp圆锥的相关概念直角三角形SAO（4）无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。（3）不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。（2）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面。（1）旋转轴叫做圆锥的轴。定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的面所围成的旋转体叫做圆锥。S顶点ABO轴侧面母线B圆锥的侧面是一个曲面，底面是一个圆。侧面底面3．圆锥具有以下性质：（1）圆锥的底面是一个圆，圆的半径就是直角边的长，底面和轴垂直；（2）平行于底面的截面是圆；（3）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形；（4）过顶点和底面相交的截面是等腰三角形;（5）母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等。圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高h。Orh高圆锥的侧面展开图是扇形r2lrO圆锥的表面积)(2lrrrlrS圆锥表面积结论：圆柱体积是等底等高圆锥体积的3倍，圆锥体积是等底等高圆柱体积的31推导公式：V柱=SHV锥=SH31等底等高例4已知圆锥的母线的长为2cm，圆锥的高为1cm，求该圆锥的体积．解由图知223cmrlh故圆锥的体积为231(3)1cm3V圆锥球人类的家－－地球人类未来的家－－火星探索火星的航天飞船球及相关概念：1．定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球。另外将圆绕直径旋转180°得到的几何体也是球。2．相关概念：（1）球面：球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的曲面；（2）球心：形成球的半圆的圆心叫做球心；（3）半径：连接球面上一点和球心的线段叫球的半径；（4）直径：连接球面上的两点且通过球心的线段叫球的直径；3．球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.4．球的截面性质：（1）球的截面是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；（2）球心和截面圆心的连线垂直于截面;（3）(其中r为截面圆半径，R为球的半径，d为球心O到截面圆的距离，即O到截面圆心O1的距离；22rRd5．球面距离：在球面上，两点之间的最短距离就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。这个弧长叫做两点的球面距离。球面距离•在球面上两点之间的最段距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度————这个弧长叫两点的球面距离OPQ,21RRr,)(222nRRr已知球的半径为R,用V表示球的体积..)2(223nRRrAOAOB2C2r2r3r1球的体积OR)1(inR半径：层“小圆片”下底面的第i.,2,1,)]1([22niinRRriirOA球的体积nininRnRrVii,2,1],)1(1[232niinRRri,,2,1,)]1([22nVVVV21半球])1(21[22223nnnnR]6)12()1(1[23nnnnnnR]6)12)(1(11[23nnnR球的体积]})1(1[]21[]11[1{222223nnnnnR6)12()1()1(21222nnnn]6)12)(11(1[3nnRV半球.01,nn时当.343233RVRV从而半球334RVR的球的体积为：定理：半径是球的体积第一步：分割球面被分割成n个网格，表面积分别为：nSSSS,,321，，则球的表面积：nSSSSS321则球的体积为：iV设“小锥体”的体积为iVnVVVVV321iSOO球的表面积第二步：求近似和ih由第一步得：nVVVVV321nnhShShShSV31313131332211iiihSV31OiSiVO球的表面积第三步：化为准确和RSVii31如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥RSRSRSRSVni3131313132RSSSSSRni31)...(3132334RV又球的体积为：RiSiVihiSOiV,31343RSRRhi的值就趋向于球的半径球的表面积.42RS从而例5球的大圆周长是80cm，求这个球的表面积与体积各为多少？（保留4个有效数字）解设球的半径为R，则大圆周长为2πR因为2π80R所以40πR223240640044()2.03710cmSR球pppp333324440256000()8.64610cm333VR球pppp即这个球的表面积约为322.03710cm，体积约为338.64610cm例6一个金属屋分为上、下两部分，如图所示，下部分是一个柱体，高为2m，底面为正方形，边长为5m，上部分是一个锥体，它的底面与柱体的底面相同，高为3m，金属屋