我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:112121yyxxyyxx点斜式:00()yykxxykxb1xyab一般式:0AxByCk2121yyxxtan一、引入000问题:已知一条直线过点M(x,y),倾斜角,求这条直线的方程.解:00tan()yyxx直线的普通方程为00sin()cosyyxx把它变成00sincosyyxx进一步整理,得:,t令该比例式的比值为即00sincosyyxxt0cos(sinttyyt0x=x整理,得到是参数)要注意:,都是常数,t才是参数0x0y二、新课讲授000问题:已知一条直线过点M(x,y),倾斜角,求这条直线的方程.M0(x0,y0)M(x,y)e(cos,sin)0MMxOy解:在直线上任取一点M(x,y),则00,)()xyxy(00(,)xxyyel设是直线的单位方向向量,则(cos,sin)e00//,,,MMetRMMte因为所以存在实数使即00(,)(cos,sin)xxyyt所以00cos,sinxxtyyt00cos,sinxxtyyt即,00cossinxxttyyt所以,该直线的参数方程为(为参数)。的一个参数方程是)直线()为参数)的倾斜角是(()直线(012160.110.70.20.20cos20sin31000000yxDCBAttytxB为参数)(ttytx222210,MMtelt由你能得到直线的参数方程中参数的几何意义吗?思考:|t|=|M0M|xyOM0Me解:0MMte0MMte1ee又是单位向量,0MMtet所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.这就是t的几何意义,要牢记M1M2MM1M2Mp【例1】直线l经过点M0(1,5),倾斜角为π3,且交直线x-y-2=0于M点,则|MM0|=________.解析由题意可得直线l的参数方程为x=1+12t,y=5+32t(t为参数),代入直线方程x-y-2=0,得1+12t-5+32t-2=0,解得t=-6(3+1).根据t的几何意义可知|MM0|=6(3+1).三、例题讲解21.:10lxyyx例已知直线与抛物线交于A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。分析:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去解;2.分别如何解.例2ABM(-1,2)xyO三、例题讲解三、例题讲解(*)010122xxxyyx得:解:由112121xxxx,由韦达定理得:10524)(1212212xxxxkAB251251(*)21xx,解得:由25325321yy,)253,251()253,251(BA,坐标记直线与抛物线的交点2222)2532()2511()2532()2511(MBMA则245353例2①①的参数方程?)如何写出直线(l1?221ttBA,所对应的参数,)如何求出交点(有什么关系?,与、)(213ttMBMAAB例2222121tttt,由韦达定理得:(1)写出直线l的参数方程;(2)设l与圆x2+y2=4相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.【练2】已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=π6,解(1)直线的参数方程是x=1+32t,y=1+12t(t是参数)(2)因为点A,B都在直线l上,所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别为A1+32t1,1+12t1,B1+32t2,1+12t2.以直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4,整理得到t2+(3+1)t-2=0.①因为t1和t2是方程①的解,从而t1t2=-2.所以|PA|·|PB|=|t1t2|=|-2|=2.(2)t参数的几何意义的几个应用;.tt 1.用参数表示点的坐标、2.直线上两点间的距离、3.直线被曲线所截得的弦的长,4.中点对应的参数练31.直线参数方程标准式0cos(sinttyyt0x=x是参数)00(xxattyybt为参数)221abt当时,才具有此几何意义其它情况不能用。2.直线参数方程一般式直线非标准参数方程的标准化00(xxattyybt为参数))()(2222022220tbababyytbabaaxxtbabyytbaaxx220220t331ytx))3(1()3(133))3(1()3(11122222222tytxt233211ytx(1)把x=5+3ty=10-4t化成标准方程的形式。已知直线参数方程是x=1+2ty=2+t(t为参数)则该直线被圆x2+y2=9截得的弦长是多少?(2)已知直线参数方程是x=1+2ty=2+t(t为参数)则该直线被圆x2+y2=9截得的弦长是多少?解:将参数方程x=1+2ty=2+t化成参数方程的标准形式x=1+t/y=2+51t/(t/为参数),并代入圆的方程,得课堂练习(1+t/)2+(2+)2=951t/整理得t/+8t/-4=0设方程的两根分别为t1/,t2/,则有t1/+t2/=-8t1/·t2/=-4所以t1/-t2/=125【练5】(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3-22t,y=5+22t(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=25sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(3,5),求|PA|+|PB|.指向高考:参数方程与极坐标方程的综合问题解法一(1)由ρ=25sinθ,得x2+y2-25y=0,即x2+(y-5)2=5.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得3-22t2+22t2=5,即t2-32t+4=0.由于Δ=(32)2-4×4=20,故可设t1,t2是上述方程的两实根,所以t1+t2=32,t1·t2=4.又直线l过点P(3,5),故由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32.