4-4 标准正交基

1§5.4标准正交基一.正交向量组的概念二.向量组的正交化与单位化三.正交矩阵与正交变换四.小结、思考题主要内容2为一个正交向量组．一、正交向量组的概念及求法定义4.12称Rn中一组两两正交的非零向量12m,,,线性无关.,,,则非零向量,是一组两两正交的,,,维向量若定理rrn21211定理4.3证明12,,,rkkk有使设11220rrkkk1,Ta以左乘上式两端即作内积,得1110T2111100,T由10.k从而有320.rkk同理可得12,,,.r故线性无关推论Rn中任一个正交向量组的向量个数不超过n个.121212,,,,,,,,,4.13.,,nnnnnRR若是向量空间的一个基且是两两正交的非零向量组则称是向量空间的一组定正交基义例1已知三维向量空间中两个向量12111,2114正交，试求使构成三维空间的一个正交基.3123,,即1312323123(,)0(,)20xxxxxx解之得132,0.xxx则有1323(,)(,)0解312312,,0,,.Txxx设且分别与正交31,x若令则有1323101xxx由上可知构成三维空间的一个正交基.123,,5注1121212,,,(),,,,,,,,.nrrrneeeVVReeeeeeV设维向量是向量空间的一个基如果两两正交且都是单位向量则称是的个标准正交基一注212,,,nnR向量组是中的一组标准正交基的充要条件是0,(,)1,ijijij例2验证向量组12311,,0,0,0,1,2211,,022TTT63.R是中的一组标准正交基(,)0,,1,2,3,4.(,)1,,1,2,3,4.ijijeeijijeeijij且由于且41234,,,eeeeR所以为的一个标准正交基.1234001212001212,,,121200001212eeee同理可知4.R是中的一组标准正交基7例3求Rn中任意向量β在标准正交基下的坐标.12,,,n解123410000100,,,001000014R也为的一个标准正交基.1212,,...,,,...,)Tnnxxx设在下的坐标为（，则12nxxx12n+...811221122,,...)(,)(,)...(,)(,)=(1,2,...,)iinniininiiiixxxxxxxxin（）（i对任意有12...n故在，，，下的坐标为(,)(1,2,...,)iixin注3由此例可知:求Rn中任意一向量在标准正交基下的坐标,代入上式即可.那么给定Rn中一组基,能不能得到一组标准正交基下呢?9二、求标准正交基的方法12121212,,,,,,,,,,,,,,,,,rrrrVVeeeeee设是向量空间的一个基要求的一个标准正交基就是要找一组两两正交的单位向量使与等价这样一个问题称为12,,,r把这个基标准正交化.定理4.4Rn中任意一线性无关向量组12,,,(2)rrn必等价于某个正交向量组.10(1)正交化,取11ba12,,,,raaaV若为向量空间的一个基证明221()bakbk则为待定系数12bb由，正交，有121211211)(,)(,)(,)0bbbakbbakbb（，12111222111(,)-(,)(,)(,)bakbbbababbb解之得于是显然（否则可由线性表出,这与线性2b1b1a12,aa无关矛盾),且与可相互线性表示出,从而12,bb12,aa1112,bb即为与等价的正交向量组。12,aa当m=3时，的取法同上，再取12,bb33112212(,bakbkbkk为待定系数）312bbb由与，都正交，有1323)0)0bbbb（，及（，将代入，与上面类似可解得3b1323121122(,)(,)--(,)(,)babakkbbbb，，132333121122(,)(,)(,)(,)babababbbbbb于是12同理3b且与可相互线性表示出,123,,bbb123,,aaa现证结论当r=i时也成立。假设当r=i－1时结论成立，即有与等价的正交向量组121,,...,iaaa121,,...,ibbb即为与等价的正交向量组。123,,bbb123,,aaa从而为此，须找到适当的向量bi使得成为与121,,...,,iibbbb121,,...,,iiaaaa等价的正交向量组。111111...(,...,iiiiibalblbll设为待定系数）121...,(,)0(1,2,...,1)iijibbbbbbji由与，都正交,有13121121112211(,)(1,2,...,1)(,)(,)(,)(,)...(,)(,)(,)(2,...,)jijjjiiiiiiiiibaljibbbababababbbbbbbbbir解之得所以于是就是与121,,...,,iibbbb121,,...,,(2,3,,)iiaaaair等价的正交向量组。显然,定理4.4的上述证明同时给出了由任一线性无关向量组12,,...,maaa12,,...,mbbb构造出与之等价的正交向量组的方法。14122211111(,),(,)bababbbb121121112211,,,,,,rrrrrrrrrbababababbbbbbbbb（）（）（）（）（）（）111,,,,,,.rrrbbbbaa那么两两正交且与等价132333121122(,),,,babababbbbbb（）（）（）(2)单位化，取121212,,,,rrrbbbeeebbb12,,,.reeeV那么为的一个标准正交基1511,,,,,rraabb上述由线性无关向量组构造出正交向量组的过程称为亦称为施密特(gram-Schmidt)正交化法.向量组的正交化与单位化.推论Rn中任意一组基都可用(gram-Schmidt)正交化法化为标准正交基.例4用施密特正交化方法，将向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)aaa正交标准化.111,1,1,1ba解先正交化，取161222111,,bababbb（）（）1141,1,0,41,1,1,111110,2,1,3132333121122,,,,babababbbbbb（）（）（）（）8143,5,1,11,1,1,10,2,1,34141,1,2,0再单位化，得标准正交向量组如下111111111,1,1,1,,,22222beb1722212130,2,1,30,,,14141414beb33311121,1,2,0,,,06666beb例5231142,3,1,110.aa1设试用施密特正交化过程把这组向量标准正交化解11;ba取212212,1abbabb（）11432611151;31183132331222,,12ababbabbbb（）（）4111512133011120.1再把它们单位化，取111beb112,61222beb111,31333beb110.21123,,.eee即合所求几何解释19a1a3a2b111;ba22111212212111,(,)(,),cabbbabcabbbb为在上的投影向量即222;bacc2b23312,,cabb为在平行于的平面上的投影向量c31233123131313233131122211,,,(,)(,),bbcabbccababcccbbbb由于故等于分别在上的投影向量及之和即c31c32333.bacb320例612312311,,,,,.1aaaaaa已知求一组非零向量使两两正交解231123,0,0Taaaxxxx应满足方程即12100,1.11它的基础解系为把基础解系正交化，即取21,a1232111,,a（）（）211211,)1,(,)2,其中(于是得210,1a301111102.22111a123,,故两两正交.22例7容易验证，单位阵E、111333cossin11,0sincos22211666都是正交矩阵。定义4.141,TTnAAAEAA若阶实方阵满足即则称三.正交矩阵与正交变换.A为正交矩阵23正交矩阵具有下列性质:010203若Q为正交阵，则|Q|=1或|Q|=-1若P与Q都是n阶正交阵，则PQ也是n阶正交阵()()()TTTTTTTPQPQQPPQQPPQQEQQQE实矩阵Q为正交矩阵的充要条件是：Q可逆，且1TQQ24证明TAAEE111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa实矩阵Q为n阶正交矩阵的充要条件是Q的列(或行)向量组都是单位向量且两两正交．定理04(即Rn的一组标准正交基)251212,,,TTTnnE121111222212TTTnTTTnTTTnnnnE1,;,1,2,,0,Tjiijijijnij当当26注4此性质说明矩阵Q为阶正交矩阵的充要条件是Q的两个不同列(或行)向量的内积为0，而每个列向量与其自身的内积为1．27定义4.15若P为正交阵，则线性变换称为正交变换．yPx性质正交变换保持向量的长度不变．证明,yPx设为正交变换.TTTTyyPxxxyxxP则有例9判别下列矩阵是否为正交阵?111231111,22111321849998142.99944799928解11123111122111321111110,2232所以它不是正交矩阵．考察矩阵的第一列和第二列，由于29184999814999447999184999814999447999T