第八章 采样控制系统分析基础(一)

第八章采样控制系统分析基础采样控制，又称断续控制、离散控制早期——采样控制现代——计算机控制§8.1信号的采样与采样定理一、信号的采样连续时间信号实际采样信号理想采样信号采样器采样开关x(t)x*(t)t=nT开关闭合t=nT+开关打开TntnTnTtnTnTxtx)1(0)()(*采样信号矩形近似理想采样信号单位脉冲函数离散脉冲序列)](1)(1[1)()(0*nTtnTtnTxtxn1)(dtnTt)()()(0*nTtnTxtxn0)()(nTnTtt)()()()()(0*nTnTxnTtnTxtxTn采样信号的物理意义连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间调制。单位脉冲序列被连续时间信号作了幅值加权。二、香农采样定理(Shannon)连续时间信号x(t)其付立叶变换为X()其频谱分量中的最高频率成分为a。对连续时间信号采样采样频率为s，采样后的离散时间信号为x*(t)。若s2a则可以从离散时间信号x*(t)中将原连续时间信号x(t)恢复。否则，会发生频率混迭，从离散时间信号中不能将原连续时间信号恢复。证明：如果满足条件s2a，镜象频谱与主频谱相互分离，可以采用一个低通滤波器，将采样信号频谱中的镜像频谱滤除，来恢复原连续时间信号。Ts|X()|0a-as-s低通滤波器x(nT)t0如果不满足条件s2a，采样信号频谱中的镜像频谱就会与主频谱混迭，采用低通滤波的方法恢复的信号中仍混有镜像频谱成分，不能恢复成为原连续时间信号，所发生的信号混迭如图。时域意义：在原系统一个周期内，至少采样2次，才能完全复现模拟信号。频域意义：采样信号的频率至少大于连续信号频谱的两倍，才能完全复现连续信号，防止信号重叠。关于采样定理的说明1、采样定理从理论上指明了从采样信号x*(t)中恢复原连续时间信号x(t)的条件。对于频谱丰富的时间信号，频谱成分的上限频率a是不存在的。另外，理想的低通滤波器也是不存在的。2、频谱混迭的物理意义（“车轮效应”）一车轮每秒钟转一圈当采用睁眼、闭眼的方法来观察点a的位置变化时，便构成了一个观察点列，也就是一个采样序列。yttsinsin1122第一种观察方式：设每1/4秒睁眼观察一次，，采样频率为，则有满足采样定理，观察点列的顺序为a、b、c、d，时间坐标如图。平滑滤波，得到原信号的波形。Ts1482ssTs8241t0y24acbd0.511.522.56t第二种观察方式：设每3/4秒睁眼观察一次采样频率为，则有不满足采样定理，会发生频率混迭。观察点列与实际旋转不同。观察点列的顺序成为a、d、c、b，，成为逆序，展开为时间坐标如图。43sT382ssTs83241t0y24acbd0.751.52.56t3§8.2信号复现与零阶保持器信号复现——从采样信号中恢复连续时间信号保持器——恢复连续时间信号的工程器件一、保持器实现样点值外推功能的装置或者器件称为外推器或者保持器。2))((21))(()()(nTtnTxnTtnTxnTxnTttxn)]})1[()({1)(TnxnTxTnTx)]})1[()({1)(TnxnTxTnTx零阶保持器将样点幅值保持至下一时刻一阶保持器不仅可以保持样点的幅值，而且可以保持采样点的斜率至下一时刻。TntnTnTxtxn)1(),()(TntnTnTtTTnxnTxnTxtxn)1(),(])1[()()()(二、零阶保持器的数学模型样点值的常值外推，其输入输出关系如图时间函数拉氏变换频率特性由于可写为)(1)(1)(TtttghseesssGTsTsh111)(jeeejejGTjTjTjTjh)(1)(212121sjeTTT2)2sin(sT2sejGsssh2)sin(2)(零阶保持器的近似实现由于取泰勒级数的前两项取泰勒级数的前三项无源电网络实现如图22!211sTTseTsTsTessesGTseTsTshTs1)11(11)(122211211)(sTTsTsTsGh§8.3采样信号的z变换一、z变换：变换域关系连续时间信号：x(t)拉氏变换：X(s)离散时间信号：x(nT)Z变换：X(z)1、z变换的定义已知连续时间信号x(t)，其采样信号为x(nT)，定义z变换0)()]([)(nnznTxtxZzX证明：采样信号作拉氏变换作算子代换z=eTs（置换超越函数）得到0)()()(nnTtnTxtx00)()]()([)(nnTsnenTxnTtnTxLsX0)()]([)(nnznTxtxZzX关于z变换的说明i、z变换的离散特性z变换所处理的对象是离散时间序列，而不带有原信号采样点之间的任何信息。)()()(321zXzXzX)()()(321txtxtxii、z变换的时间特性采样信号展开式作z变换调制脉冲(t-nT)对应于变换算子z-1z-1又称为一步延迟因子，z变换算子z带有明确的时间信息。0)()()(nnTtnTxtx)2()2()()()()0(TtTxTtTxtx0)()(nnznTxzX21)2()()0(zTxzTxxiii、z变换的收敛和特性z变换定义为以z为自变量的罗朗级数。收敛条件0)()(nnznTxzX1z2、典型时间信号的z变换（1）单位脉冲信号由于所以由定义（2）单位阶跃信号由定义等比级数。收敛和为或者001)(dttA1)()]([)()(0tnTxnnznTxtZ00)(1)()(nnnnznTznTxzX211zz111)(zzX1)(zzzX（3）单位斜坡信号由定义由于两边对变量z求导两边同时乘以–Tz，得到)(1)(tttx0)(0)()()(nnnTnTxnnznTznTxzX10zzznn201)1(1)(zznnn20)1()()(zTzznTzXnn（4）指数信号（5〕正弦信号6〕已知X(s)，求X(z)先作拉氏反变换再求z变换111)(zezXTTezzzX)(1cos2sin][21)(2zTzTzezzezzjzXtjtj)]([)(1sXLtx)]([)(txZzX思考题：由有代入X(s)求得X(z)，为什么不行？例8－1已知时间函数的拉氏变换为试求z变换X(z)。解展开部分分式作拉氏反变换作z变换)1(1)(sssX111)1(1)(sssssXtetssLtx)(1]111[)(1))(1()1(1111])(1[)(11TTTtezzezezzetZzxTsezzTsln1二、z变换的基本定理和拉氏变换一样，z变换也有一些相应的基本定理。利用这些基本定理，可以使一些z变换的运算简化。（1）线性定理（2）实位移定理时序后移时序前移（3）复位移定理)()()]()([22112211zXazXatxatxaZ)()]([zXzmTtxZmmmmmmzmTxzzXzmTtxZ10)()()]([)(])([TtezXetxZ（4）变换域微分定理例如（5）初值定理（6）终值定理（7）卷积和定理)]([)]([zXdzdTztxtZ1)(1zzt2)1()(1zTztt)(lim)(lim)0(0zXtxxzt)()1(lim)(lim)(1zXztxxzt)()(})(])[({21021zXzXiTxTinxZmi三、z反变换已知X(z)求x(nT)第一种方法：反演积分法由复变函数积分公式利用留数定理得到cdzzzXnTx)1()()(knkzzzzXsnTx])([Re)(1第二种方法：幂级数法由于mnazazazabzbzbzbzXnnnnmmmm,)(01110111nnzczczcczX22110)()()2()()()(210nTtcTtcTtctcnTxn例8－4前例解：应用综合除法，分子多项式除以分母多项式，得得到作z反变换21123110)2)(1(10)(zzzzzzzX12132110231703010zzzzzz323212030203010zzzzz434326070609030zzzzz54314021070zzz321703010)(zzzzX)3(70)2(30)(10)(0)(TtTtTttnTx第三种方法：部分分式法将X(z)分解为对应于基本信号的部分分式，再查表来求得其z反变换。注意：由于基本信号的z变换都带有因子z，所以，要将分解为部分分式例8－6前例解zzX)()2)(1(10)(zzzzX210110)2)(1(10)(zzzzzzX210110)(zzzzzXnnTx21010)(四、差分方程两类系统与其端口信号1、差分两个样点信息之间的微商即称为差分。忽略采样间隔TTTnxnTxxn])1[()()1()(nxnxxn差分的阶样点间信号平均变化率的不同称为差分的阶。一阶差分：样点幅值之差二阶差分：一阶差分之差……n阶差分：n-1阶差分之差)1()(nxnxxn12nnnxxx)]2()1([)]1()([nxnxnxnx)2()1(2)(nxnxnx111nnnnnnxxx差分的方向设当前采样时刻为n，依据当前时刻与前后时序数据的依赖关系，可定义后向差分与前向差分。一阶后向差分二阶后向差分……一阶前向差分二阶前向差分……历史时刻、当前时刻、未来时刻之间的数据依赖关系是明确的。因此经常应用的是后向差分方式，)()1(nxnxxn)1()(nxnxxn12nnnxxx)2()1(2)(nxnxnxnnnxxx12)()1(2)2(nxnxnx2、差分方程类似于微分方程，确定两个离散时间序列关系的方程就称为差分方程，表为各差分项中的最高阶数为n，因此称为n阶差分方程。3、差分方程求解满足方程的输出离散序列yk称为差分方程的解。n阶差分方程，给定了初始条件差分方程的解yk唯一存在。kknknnkyayayay01111mnxbxbxbxbkkmkmkmkmk,01111mnxxyy,,,,0,10z变换法求解与用拉氏变换法求解微分方程方法类似，求解步骤（1）已知差分方程及初始条件（2）将方程两边作z变换，代入初始条件。得到（3）整理方程，写出输出变量的z变换Y(z)mjjkjniikixbya00mnxxyy,,,,0,10mnxxmjjkjyyniikixbZyaZ,,0,,00,10][][)()()()(zXzBzYzA)()(