等离子体电子工程(8)-粒子间的碰撞

2.2粒子间的碰撞等离子体中存在着大量运动着的电子（e）、离子（i）、中性粒子（n），它们间不断发生着各种类型的碰撞。如果用ei表示电子和离子的碰撞，则按照碰撞粒子的种类，共有六种碰撞组合，即○1ei；○2ee；○3ii；○4en；○5in；○6nn。前三种为带电粒子间在库伦力的作用下发生的碰撞，故称为库伦碰撞。余下的三种，发生的碰撞的两个粒子至少有一方为中性粒子，所以只有在两个粒子直接碰撞接触的瞬间，才会产生相互间的作用力。2.2.1碰撞截面图2.5是把粒子看做刚性球，半径分别为1r、2r的粒子1和粒子2发生碰撞瞬间的示意图。假设图中粒子2静止不动，以粒子2的中心为原点，在xy平面上作半径（1r+2r）的圆。当粒子1沿z轴向粒子2靠近时，如果粒子1的中心在xy平面上的投影落在这个圆内，那么粒子1必然会和粒子2发生碰撞。图2.5粒子1和粒子2发生碰撞的瞬间上述的面面积为212()rr（2.22）可见，越大就意味着越容易发生碰撞。所以，我们用来衡量粒子发生碰撞的概率，并称之为碰撞截面。如附录I所示，原子、分子等中性粒子的半径1010[]rm，它们的碰撞截面20210[]m。这里如果认为粒子和中性粒子的半径大致相等且其值为r，则in或nn碰撞的碰撞截面为24r，由此可见，in或nn碰撞的碰撞截面是en碰撞的4倍。如果从上述的刚性球模型考虑，则粒子的碰撞截面为常数，与碰撞能量无关。而实际上电子和分子都不是坚硬的球体，发生碰撞时的作用力将不是力学上的力而是电场力。我们知道，当电子或离子接近中性粒子时，中性粒子内部就会产生极化现象，出现电偶极子。该偶极子所产生的电场同电子或离子的相互作用会改变粒子轨迹。由于这种极化效应与碰撞粒子的相对速度有关，所以碰撞截面一般不是常数，而是能量的函数。特别是，当Ar、Kr等稀有气体（He、Ne除外）与电子发生碰撞时，如图2.6所示，电子能量处于1eV附近时，其碰撞会明显地变小，这种现象被称为冉邵尔效应（Ramsauereffect）。对此现象，经典力学无法解释，必须要借助于考虑了电子波动性的量子力学。众所周知，电子的波长随电子动能而变化，即10[10]/150/[]mhmveV。因此，当波长接近于分子直径的低能电子与分子发生碰撞时，如果满足衍射的相位条件，那么电子波会像没有障碍物一样通过，这时的碰撞截面也会变得很小。图2.6稀有气体的电子碰撞截面与冉邵尔效应3.2.2平均自由程由于碰撞是无规则的，所以粒子在前后两次碰撞之间所走过的路程（自由程）也是有长有短。从统计平均的角度，现在我们引入平均自由程（meanfreepath）的概念，即认为粒子每行进距离就会发生一次碰撞。为了求出，如图2.7所示，我们假设空间内充满了密度为2n的粒子2，而有一个粒子1以某一速度进入这个空间中（粒子1和粒子2为不同种类的粒子）。由图2.5中关于的定义可知，粒子在距离为的直线行进过程中，可能发生碰撞的空间范围是以为底面，高为的圆柱，而行进距离必发生碰撞指的是，在这个圆柱空间范围内只有一个粒子2存在，即21n。所以，这时粒子1和粒子2发生碰撞的平均自由程1221n（2.23）前面我们已经讲了en碰撞的碰撞截面为nn碰撞的1/4，所以en碰撞的平均自由程en为nn碰撞的en的4倍。图2.7平均自由程12（试验粒子1在行进中不断与静止粒子2发生碰撞）公式（2.23）是在碰撞一方粒子2静止不动的假设条件下得到的，这种模型适用于高速运动的电子与速度较慢的中性粒子（气体分子）间的碰撞。但是，对于中性粒子间的nn碰撞，由于碰撞双方的速度相当，所以不能把其中一方视为静止。碰撞双方都运动的模型与假设一方静止的模型相比，粒子间的相对速度较大，单位时间内碰撞次数较多，所以自由程相对较小。另外，由进一步计算可得/42nnen。这里，离子和中性粒子碰撞时，由于离子比中性粒子温度高，所以有nnin。1秒钟内发生碰撞的平均次数称为碰撞频率，如图2.7中试验粒子1和粒子2的碰撞频率为12f，粒子1的平均热运动速度为1v，则试验粒子1秒内行进的路程11212vf，于是碰撞频率为1121122vfnv（2.24）比较平均自由程可知，/(/)/(/)(/)/42ennneennnnenffvvvv。欲求en和enf，需先求出中性粒子的密度。如果已知气体的压强P和温度T，通过理想气体的状态方程PnT可算出气体分子密度n。气体放电时的温度要比室温高，假定400[]TK，波尔兹曼常数231.3810[/]JK，把T，代入状态方程，可得320[]1.8110[]nmPPa（2.25）其中，压强P的单位为Pa（帕【斯卡】），它与常用的压强单位mTorr的换算关系为17.501PamTorr（2111.3332210TorrmmHgPa）。气体分子的半径r不尽相同，我们取其中比较有代表的数值10210[]rm。对于en碰撞，碰撞截面2r，平均热运动速度1/2(8/)eeevTm，则根据公式（2.23）~（2.25）可以得到有关平均自由程和碰撞频率的数值表达式：[]4.40/[]encmPPa（有人标注算错，查询资料核实）[]/420.778/[]nnencmPPa（2.26）7[]1.5210[][]enefHzPPaTeV2.23库伦碰撞相互碰撞的两个粒子中至少有一个为中性粒子时，只有在两个粒子发生接触时才会产生作用力，所以碰撞截面基本是由粒子大小所决定。但是，带电粒子间发生碰撞时，相互间的作用力为库伦力（21/r），所以即使两个粒子离得很远，仍然存在相互作用。也就是可以认为碰撞截面为无穷大。进一步考虑，等离子体中存在大量的带电粒子，每个粒子同时受到其它许多粒子的库仑力。因为碰撞的实质就是粒子的速度和轨道因相互作用力而改变，所以等离子体内的库伦碰撞是粒子同时和多个粒子的碰撞，也可以称为多体碰撞。现在我们考查等离子体中的一个电子（试验电子）。该电子受到多个粒子的库仑力的作用，其运动方向不断发生小角度偏转（散射），当速度矢量的偏转角度累积达到90°时（大角度散射），我们就认为发生了“碰撞”。但值得注意的是，在发生多体碰撞时，并非等离子体中所有的离子形成的库伦电场都会对试验电子起作用。实际上，离子周围总是有大量的电子在作无规则的热运动，在它们的屏蔽作用下，粒子库仑力的有效作用只是在德拜长度D【参见公式（3.20）】的范围之内。考虑这种效应的严格计算过程请参阅其它书目，在此我们仅给出有关结果。当等离子体密度为30[]nm、电子温度为[]TeeV时，电子和1价正离子（ieTT）间的碰撞频率为123/202.910ln/[]eiefnTHz（2.27）其中，定义为以德拜长度为半径的球内所包含的电子数的9倍。ln被称为库伦对数，0n和eT对它的影响不大。当1[]eTeV、163010[]nm时，ln11.7，53.410[]eifHz。如前所述，库伦碰撞是指在德拜长度的尺度范围内发生的大角度散射。即使在这种库伦碰撞可以被忽略的条件下，库仑力仍然可以超出德拜长度面整体地作用于带电粒子，引起许多粒子同时发生小角度的散射，即所谓的等离子体集体运动（collectivemotion）。其典型的例子是可传播空间电荷密度变化的等离子体波，下一章将讲述等离子体的这种宏观现象。2.3弹性碰撞中的能量损失现在我们来看看粒子间发生碰撞时的能量交换。碰撞前后动能和动量均守恒的碰撞称为弹性碰撞（elasticcollision）；而动能或动量在碰撞前后不守恒并伴随有粒子内能变化的高能粒子碰撞叫做非弹性碰撞（inelasiticcollision）。关于非弹性碰撞将在下一节介绍，本节将讨论弹性碰撞。在图2.5中，碰撞前质量为2m的粒子2静止不动（20f），质量为1m的粒子1以速度1v沿x轴从左侧向粒子2运动，最后发生对心碰撞。设碰撞后粒子1和粒子2的速度分别为1'v、2'v，那么有下列两个守恒关系：动量守恒：111122''mvmvmv（2.28）能量守恒：222111122111''222mvmvmv（2.29）把它们看作以1'v和2'v为未知数的联立方程，求出2'v：121122'mvvmm（2.30）在上述碰撞过程中粒子1损失的动能就等于碰撞后粒子2获得的动能（22'/2mv）。考虑到这种情况，我们定义粒子的能量损失系数为碰撞过程中损失的能量与碰撞前的能量1之比，即2212211112'/24'/2()mvmmmvmm（2.31）当12mm时，1，就是说碰撞后粒子1损失掉全部动能，而粒子2以碰撞前粒子1的速度开始运动。但是，以上讨论是在对心碰撞这种特殊情况下进行的。对于更一般的碰撞情况，例如，图2.5中粒子1碰撞前的速度方向与x轴成角，则碰撞后粒子2的速度就需在公式（2.30）的右边再乘以cos。因此，如果对所有入射角度的情况进行平均，那么能量损失系数则为公式（2.31）的一半，即122122()mmmm（2.32）由此可知，对于nn碰撞、in碰撞，由于碰撞双方的质量大体相等，即12~mm，所以0.5，每次碰撞要损失一半能量。另一方面，当电子与比它约重1万倍的中性粒子碰撞时，4210enmm，这时电子几乎不损失能量。这样，因为电子的能量损失系数非常小，所以弱电离等离子体的电子温度eT比离子温度iT、中性粒子温度nT要高出若干数量级。但是，诸如在大气压强条件下碰撞十分频繁的时候，粒子达到热平衡状态，这时会有eniTTT。