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第二课时组合的综合应用[对应学生用书P12]有限制条件的组合问题[例1]现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．(1)恰有一件是次品的抽法有多少种？(2)至少有一件是次品的抽法有多少种？[思路点拨]分清“恰有”“至少”的含义，正确地分类或分步．[精解详析](1)从2件次品中任取1件，有C12种抽法．从8件正品中取2件，有C28种抽法．由分步乘法计数原理可知，不同的抽法共有C12×C28＝56种．(2)法一：含1件次品的抽法有C12×C28种，含2件次品的抽法有C22×C18种．由分类加法计数原理知，不同的抽法共有C12×C28＋C22×C18＝56＋8＝64种．法二：从10件产品中任取3件的抽法有C310种，不含次品的抽法有C38种，所以至少有1件次品的抽法为C310－C38＝64种．[一点通]解答有限制条件的组合问题的基本方法：(1)直接法：优先选取特殊元素，再选取其他元素．(2)间接法：正面情况分类较多时，从反面入手，正难则反．解题时要注意分清“恰有”“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．1．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为()A．9B．14C．12D．15解析：法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C44种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有C12C34种选法．故共有C44＋C12C34＝9种选法．法二：(间接法)C46－C24＝9种．答案：A2．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，有2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？解：分四类求解：①从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；②从3名只会下象棋的的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；③从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2＝4种选法；④从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，剩下的1名参加围棋比赛，有2×1＝2种选法．根据分类加法计数原理，一共有6＋6＋4＋2＝18种不同的选法.与几何有关的组合问题[例2]平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？[思路点拨]解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数．[精解详析]法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216个．法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C312＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34＝4种．故这12个点构成三角形的个数为C312－C34＝216个．[一点通]1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．3．以正方体的顶点为顶点的四面体的个数为________．解析：正方体的8个顶点可构成C48个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点，故可以确定的四面体有C48－12＝58个．答案：584．正六边形的顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.答案：32排列与组合的综合应用问题[例3](10分)有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？[思路点拨]男医生甲是特殊元素，地区A是特殊位置，因此可分类解决．[精解详析]分两类：第一类，甲被选中，共有C25C24C14A44种分派方案；第二类，甲不被选中，共有C35C24A55种分派方案．根据分类加法计数原理，共有C25C24C14A44＋C35C24A55＝5760＋7200＝12960种分派方案．[一点通]本题是一道“既选又排”的排列、组合综合题，解决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则．5．从0,1,2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有()A．40个B．120个C．360个D．720个解析：先选取3个不同的数，有C36种方法；然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有C36A22＝40个三位数．答案：A6．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A．360B．520C．600D．720解析：若甲、乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲、乙两人插入其中即可，则共有C25A22A23种不同的发言顺序；若甲、乙两人只有一人参加，则共有C12C35A44种不同的发言顺序．综上可得不同的发言顺序为C25A22A23＋C12C35A44＝600种．答案：C解有限制条件的排列组合应用题的基本方法：(1)直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．(2)间接法：选择间接法的原则是正难则反，也就是若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，特别是涉及“至多”、“至少”等问题时更是如此．此时，正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些问题的关键．[对应课时跟踪训练六]1．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有()A．36个B．24个C．18个D．6个解析：若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故有C23C12A33＝36个．答案：A2．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C12C24＝12种安排方案．答案：A3．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A．150种B．180种C．300种D．345种解析：若这名女同学是甲组的，选法有C13C15C26；若这名女同学是乙组的，则选法有C25C12C16；故符合条件的选法共有C13C15C26＋C25C12C16＝345种．答案：D4．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种解析：分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局、输1局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局、输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．答案：C5．直角坐标系xOy平面上，平行于x轴和平行于y轴的直线各有6条，则由这12条直线组成的图形中，矩形共有________个．解析：从6条水平直线和6条竖直直线中各取2条，每一种取法对应一个矩形，因此矩形共有C26C26＝225个．答案：2256．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运会志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．解析：(间接法)共有C47－C44＝34种不同的选法．答案：347．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．解：(1)分三步完成：第一步，从9本不同的书中任取4本分给甲，有C49种分法；第二步，从余下的5本书中任取3本给乙，有C35种分法；第三步，把剩下的书给丙，有C22种分法，所以共有不同的分法C49·C35·C22＝1260种．(2)分两步完成：第一步，按4本、3本、2本分成三组，有C49·C35·C22种分法；第二步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种分法，所以共有C49·C35·C22·A33＝7560种分法．(3)用与(1)相同的方法求解，有C39·C36·C33＝1680种分法．8．从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数．试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有多少个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？(4)(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有多少个？解：(1)分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C34种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有C45种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A77种情况，所以符合题意的七位数有C34·C45·A77＝100800个．(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有C34·C45·A55·A33＝14400个．(3)(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34·C45·A33·A44·A22＝5760个．(4)(1)中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有C34·C45·A44·A35＝28800个．学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80％。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，