面面垂直的习题课

2.判定方法：1.面面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(1)用定义(2)判定定理βααlβl前课复习3.性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一的平面内.课堂练习1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（）3.如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.（）一、判断：××4.若m⊥α，mβ，则α⊥β.()∪√2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.（）√二、填空题：1.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直.2.过一点可作_____个平面与已知平面垂直.3.过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直.4.过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直.一无数无数一1.设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为()(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个C课堂练习2.设α、β表示两不同平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线.给出四个论断：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α.以其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_____________________________.m⊥α，n⊥β，α⊥β=m⊥n(注：也可填m⊥n，m⊥α，n⊥β=α⊥β)3.对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是()(A)m⊥n，m∥α，n⊥β(B)m⊥n，α∩β=m，nα(C)m∥n，n⊥β，mα(D)m∥n，m⊥α，n⊥βC4.已知直线l、m，平面α，β，且l⊥α，m∥β.给出下列四个命题；(1)若α∥β，则l⊥m；(2)若l⊥m，则α∥β；(3)若α⊥β，则l∥m；(4)若l∥m，则α∥β.其中正确的命题个数为()(A)4(B)1(C)3(D)2B课堂练习平面PAB⊥平面PAD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAB⊥平面PBC；平面PAD⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面PCD5.四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的五个面中，互相垂直的面是__________________________________________________________________________________________________(把互相垂直的面都填上).21.四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，PC=2，E是PA中点(1)求证：平面EBD⊥平面AC；(2)求二面角A-EB-D强化练习【解题回顾】两个平面互相垂直是两平面相交的特殊情况，判定两平面垂直时，可用定义证明这两个平面相交所成的二面角是直二面角，或在一个平面内找一条直线，再证明此直线垂直于另一个平面.2.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB，PC的中点.(1)求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；(2)求证：平面MND⊥平面PCD.强化练习【解题回顾】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了.另外在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围.3.在三棱锥A—BCD中，AB=3，AC=AD=2，且∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°.求证：平面BCD⊥平ADC.【解题回顾】用定义证面面垂直也是常用方法，死用判定强化练习4.已知：平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，E是点A在平面PBC内的射影.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.强化练习【解题回顾】(1)已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可证此直线必垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，这是常见的处理方法.(2)的关键是要会利用(1)中的结论.【解题回顾】在折叠问题中，关键要弄清折叠前后线面关系的变化和线段长度及角度的变化，抓住不变量解决问题.5.已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，将此三角形沿DE折成二面角A1-DE-B.(1)求证：平面A1GF⊥平面BCED；(2)当二面角A1-DE-B为多大时，异面直线A1E与BD互相垂直?证明你的结论.强化练习6、已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：（1）MN⊥AB；（2）当平面PDC与平面ABCD所成角为45º，求证：平面PMC⊥平面PDCPABCDMNQ强化练习ABCDA1B1C1D1Q11111111O1PADQADAQADOPOQ41QOP7ABDP2QOPABCDABCD如图，在棱长为的正方体中，为中心，为的中点，点在上，且＝，连接、（）求证：＜是二面角－－的平面角（）求出＜、的值PO强化练习8、在等腰∆ABC中，AD为底边上的高，在AD上取点E使AE＝⅓AD，过E作MN║BC，分别交AB、AC于M、N，以MN为折痕将∆AMN折起到∆AMN位置，使二面角A－MN－D为60º，求证：平面AMN⊥平面ABCAEMNACBD强化练习9、已知平面α垂直于平面β，交线为l，交线为l，A∈α，B∈β，AB与α、β分别成30º，45º角，｜AB｜＝2，AC⊥l，BD⊥l，垂足为C和D，求二面角C－AB－D的平面角的余弦αβlACBDEF强化练习10、已知△ABC中，O为AC中点，∠ABC=900，P为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证：平面PAC⊥平面ABCPABCO11、PD⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，在所有的平面中共有多少对互相垂直的平面？PDABC强化练习10、如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC，VC⊥BC，即∠ACB是二面角A-VC-B的平面角．由∠ACB是直径上的圆周角，知∠ACB=90°。因此，平面VAC⊥平面VBC．由DE是△VAC两边中点连线，知DE∥AC，故DE⊥VC．由两个平面垂直的性质定理，知直线DE与平面VBC垂直。强化练习BCADPQ练习1：如图，平面ABD⊥平面BCD，且⊿ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°,⊿BCD是等边三角形，求二面角A-CD-B的大小巩固练习练习2：如图，将一副三角板拼成直二面角A-BC-D，其中∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠CBD=30°，（1）求证：平面BAD⊥平面CAD；（2）若CD=2，求C到平面BAD的距离。BACDE证明：（1）∵平面ABC⊥平面DBC又DC⊥BC∴DC⊥平面ABC∵AB在面ABC内∴DC⊥AB又AB⊥AC，AC∩CD=C，AC，AD在面ACD内∵AB⊥平面ACD而AB在平面ABD，∴平面ABD⊥平面CAD（2）过C作CE⊥AD于点E∵平面ABD⊥平面CAD∴CE⊥平面CADaADCDACCEaADaCDaAC51031536，，，则设即C到平面BAD的距离为a510BACDEDCEABMN练习3：如图，矩形ABCD中，已知AB=2AD，E为AB的中点，将⊿AED沿DE折起，使AB=AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE练习4在正方体ABCD—A1B1C1D1中,(1)求证：平面A1C⊥平面B1DACDA1C1D1EFＢB1(2)若E、F分别是AB、BC的中点，求证：平面A1C1FE⊥平面B1D(3)若G是BB1的中点求证：平面A1C1G⊥平面B1DGGGG练习5：正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点.求证：平面AH⊥平面DFHFGED1C1B1DCBAA1