面面垂直的判定和性质定理

平面与平面的垂直关系一、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就说这两个平面互相垂直．思考：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.αβa简记：线面垂直，则面面垂直.面面垂直线面垂直线线垂直aÜa面符号语言:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．已知：AB⊥β，ABα（图1）．求证：α⊥β。∵AB⊥β，CDβ，两个平面垂直的判定定理证明：设α∩β=CD，∴AB⊥CD．在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角．∴α⊥β。探究1：ACBDA1C1B1D111AABBABCD面面CCBBBBAA1111面面111111DCBABBAA面面DDAABBAA1111面面面面垂直线面垂直线线垂直如图为正方体,请问哪些平面与面垂直?11AABB,,ABBCDBCCD已知面请问哪些平面是互相垂直的,为什么?BCDABC面面ACDABC面面BCDABD面面BCDAB面ABCCD面BCDAB面ABCD探究2：3.两个平面垂直应用举例例1:AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，点C是⊙O上不同于A,B的任一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．PABCO4.在解题时注意应用.3.证明面面垂直要从寻找面的垂线入手;2.理解面面垂直的判定都要依赖面面垂直的定义;1.定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的;小结：直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质2.线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。1.线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。复习回顾：3.平面与平面垂直的定义:如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就说这两个平面互相垂直．4.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．直线与平面垂直的性质在平面内，如果两条直线同时垂直于另一条直线，那么这两条直线平行。在空间中有相同或者类似的结论吗？观察下面的长方体，找出所有标记的线面之间的位置关系。线面垂直的性质定理1：垂直于同一个平面的两条直线平行。aa//ab//ab线面垂直的性质定理2：垂直于同一条直线的两个平面平行。如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面?思考1：思考2：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?思考3：如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？[分析]在β内作BE⊥CD。要证AB⊥β，只需证AB垂直于β内的两条相交直线就行。思考2：如图2，α⊥β，ABα，AB⊥CD，α∩β=CD，求证：AB⊥β。两个平面垂直的性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．而我们已经有AB⊥CD，只需寻求另一条就够了。而我们还有α⊥β这个条件没使用，由α⊥β定义，则∠ABE为直角，即有AB⊥BE，也就有AB⊥β，问题也就得到解决．思考3：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？βcP已知：⊥β，P∈，P∈a,a⊥β.求证：a证明：设∩β=c，过点P在平面内,作直线b⊥c，根据上面的定理有b⊥β.因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直，所以直线a应与直线b重合.所以a.abβcPba两个平面垂直的性质定理2如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．两个平面垂直的性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．1．给出下列四个命题：①垂直于同一个平面的两个平面平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一个平面的两条直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的命题的个数是（）．A．1B．2C．3D．4B课堂练习：2．给出下列四个命题：（其中a，b表示直线，α，β，γ表示平面）。①若a⊥b，a∥α，则b⊥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β；④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。其中不正确的命题的个数是（）．A．1B．2C．3D．4D3．已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（）（A）3（B）2（C）1（D）04．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么（）（A）直线a垂直于第二个平面;（B）直线b垂直于第一个平面;（C）直线a不一定垂直第二个平面;（D）过a的平面必垂直于过b的平面..1位置关系的与平面，试判断直线，满足，直线，，：已知平面例aaaa,.b解：在内作垂直于与交线的直线b，,a又.//ba,a又.//a即直线a与平面平行。证明：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于该平面。小结：1.线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。垂直于同一条直线的两个平面平行。2.两个平面垂直的性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．3.两个平面垂直的性质定理2如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．练习：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都等于a，D、F分别是AC1、BB1的中点，（1）求证：DF//面A1B1C1（2）求证：DF⊥AC1,DF⊥BB1（3）求二面角F-AC1-C的大小。AA1BB1C1CFDAA1BB1C1CFDAA1BB1C1CFDEAA1BB1C1CFD例1：如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N是边AB、PC的中点，PA=AD，求证：（1）MN//面PAD（2）面MND⊥面PDCPDCBANMBFECPA例2：如图，已知AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、B的点，PA垂直于圆O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PF于F。求证：面AEF⊥面PAB例4：已知正方体的棱长是a,求点C到面A1BD的距离及直线A1C与面A1BD所成的角；ABCDA1D1C1B1.,,2,2,160(1)SABCDABCDSDABCDADDCSDMSCABMMSCSAMB已知四棱锥中底面为矩形，底面点在侧棱上，证明：为侧棱的中点；（2）求练习二面角的大小。=,2.,PCABCABBCCAPCBPAC练习已知平面求二面角的平面角的正切值。.,3ABCDAPAABCDPAABaBPCDPABPCD过正方形的顶点作平面设(1）求二面角的大小。（2）平面和平面所成二面练习角的大小。.,,60,,,(2)246PABCDPAABCDABCEFBCPCAEPDHPDEHPADEAFC已知四棱锥底面为菱形，分别是的中点，(1）证明：为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的练习余弦值。.,3,2,2,22,60;(2)5PABCDABCDABADPAPDPABADPABPCADPBDA已知四棱锥底面为矩形，(1）证明：平面求异面直线与所成的角的余弦值；（3）求二面角的平面练习角的正切值。例3：如图，α,β,γ是三个平面，满足α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,求证：a⊥αaαβγ练习：已知α,β,γ是三个平面，满足α⊥γ,α//β，求证：β⊥γ两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．