4.2原函数与不定积分

由杨艳制作第四章一元积分学4.2原函数与不定积分4.2.1原函数与不定积分的概念4.2.2不定积分的性质4.2.3小结解引例设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点处横坐标的两倍,求曲线的方程.设曲线方程为),(xfy2()fxx满足此条件的函数有无穷多个,如,2xy,12xy,12xy等都是.一般,所求曲线方程为,2CxyC为任意常数.xyOC4.2.1原函数与不定积分的概念定义1设函数F(x)、f(x)均定义在区间I上,F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称函数F(x)是已知函数f(x)在区间I上的一个若对都有xI原函数.例如，在区间(,)内有(x3)=3x2，所以x3是3x2在区间(,)内一个原函数.定理1（原函数存在定理）连续函数一定存在原函数.即如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上必存在一个可导函数F(x)使得()(),Fxfx.xI定理2若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)+C(C为任意常数)就表示f(x)在该区间上的所有原函数.例1求f(x)=sinx的一个原函数F(x)，使满足F(0)=0.定义2函数f(x)的所有原函数的一般表达式称为函数f(x)的不定积分，记作任意常数积分号被积函数CxFdxxf)()(被积表达式积分变量().fxdx例2求.d5xx解xxd5解例3.d112xx求)(xFCx66211xxxd112xarctanCxarctan5x66x)(xF例4求1d.xx不定积分的几何意义图像为)(xf的一条积分曲线.CxFy)(的图的无穷多条曲线,称为f(x)的积分曲线族.若F(x)是f(x)的一个原函数，则称y=F(x)的)(xFy沿y轴方向上下平移得到形是将曲线xyOC由于不论常数C取何值,)(])([xfCxF同一x处其导数等于f(x),各切线相互平行.有积分曲线族即xCxFy)()(xFyxyO(2)()d()d()()FxxFxCFxFxC(1)()()()().fxxfxfxxfxxdddd4.2.2不定积分的性质性质1求不定积分运算与微分运算互为逆运算性质20()d()d()afxxafxxa性质3.d)(d)(d)]()([xxgxxfxxgxf;)1(,11d21Cxxx)(;||lnd13Cxxx)(基本不定积分公式;)(d1为常数)(kCkxxkdxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaax一个积分常数C即可.例5.d)2sin22(xxxxx即各积分常数可以合并.xxxxxd)2sin22(xxxxxxxd2dsin2d232521522)cos(22ln2CxCxCx)22(54cos22ln232125CCCxxx.54cos22ln225Cxxx其中C=C1-2C2+2C3，因此，求代数和的不定积分时，只需在最后写解例6求例7求例8求例9求dxxx)52(2dxxxx)3(dxxxexx)1112(2xxdx22cossin325xxxCCxx47411712114Cxxexlnarcsin2ln1)2(Cxxcottan4.基本积分表3.不定积分的性质•不定积分运算与微分运算的互逆关系4.2.3小结1.原函数的概念：()()Fxfx2.不定积分的概念：()()fxdxFx•不定积分运算的线性性质思考题符号函数0,10,00,1sgn)(xxxxxf在内是否存在原函数？为什么？),(思考题解答不存在.假设有原函数)(xF0,0,0,)(xCxxCxCxxF但)(xF在0x处不可微，故假设错误所以在内不存在原函数.),()(xf结论：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.