2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1卷)文一、选择题:每小题5分,共60分1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}AxxnnNB,则集合AB中的元素个数为(A)5(B)4(C)3(D)22、已知点(0,1),(3,2)AB,向量(4,3)AC,则向量BC(A)(7,4)(B)(7,4)(C)(1,4)(D)(1,4)3、已知复数z满足(1)1zii,则z()(A)2i(B)2i(C)2i(D)2i4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()(A)310(B)15(C)110(D)1205、已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线2:8Cyx的焦点重合,,AB是C的准线与E的两个交点,则AB(A)3(B)6(C)9(D)126、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛7、已知{}na是公差为1的等差数列,nS为{}na的前n项和,若844SS,则10a()(A)172(B)192(C)10(D)128、函数()cos()fxx的部分图像如图所示,则()fx的单调递减区间为()(A)13(,),44kkkZ(B)13(2,2),44kkkZ(C)13(,),44kkkZ(D)13(2,2),44kkkZ9、执行右面的程序框图,如果输入的0.01t,则输出的n()(A)5(B)6(C)7(D)810、已知函数1222,1()log(1),1xxfxxx,且()3fa,则(6)fa(A)74(B)54(C)34(D)1411、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为1620,则r()(A)1(B)2(C)4(D)812、设函数()yfx的图像与2xay的图像关于直线yx对称,且(2)(4)1ff,则a()(A)1(B)1(C)2(D)4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13、数列na中112,2,nnnaaaS为na的前n项和,若126nS,则n.14.已知函数31fxaxx的图像在点1,1f的处的切线过点2,7,则a.15.若x,y满足约束条件20210220xyxyxy,则z=3x+y的最大值为.16.已知F是双曲线22:18yCx的右焦点,P是C左支上一点,0,66A,当APF周长最小时,该三角形的面积为.三、解答题17.(本小题满分12分)已知,,abc分别是ABC内角,,ABC的对边,2sin2sinsinBAC.(I)若ab,求cos;B(II)若90B,且2,a求ABC的面积.18.(本小题满分12分)如图四边形ABCD为菱形,G为AC与BD交点,BEABCD平面,(I)证明:平面AEC平面BED;(II)若120ABC,,AEEC三棱锥EACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积.19.(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的宣传费ix和年销售量1,2,,8iyi数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(I)根据散点图判断,yabx与ycdx,哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);(II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(III)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为0.2zyx,根据(II)的结果回答下列问题:(i)当年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值时多少?(ii)当年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?20.(本小题满分12分)已知过点1,0A且斜率为k的直线l与圆C:22231xy交于M,N两点.(I)求k的取值范围;(II)若12OMON,其中O为坐标原点,求MN.21.(本小题满分12分)设函数2lnxfxeax.(I)讨论fx的导函数fx的零点的个数;(II)证明:当0a时22lnfxaaa.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图AB是O直径,AC是O切线,BC交O与点E.(I)若D为AC中点,证明:DE是O切线;(II)若3OACE,求ACB的大小.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线1:2Cx,圆222:121Cxy,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求12,CC的极坐标方程.(II)若直线3C的极坐标方程为πR4,设23,CC的交点为,MN,求2CMN的面积.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数12,0fxxxaa.(I)当1a时求不等式1fx的解集;(II)若fx的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1卷)文答案一、选择题(1)D(2)A(3)C(4)C(5)B(6)B(7)B(8)D(9)C(10)A(11)B(12)C二、填空题(13)6(14)1(15)4(16)126三、解答题17、解:(I)由题设及正弦定理可得2b=2ac.又a=b,可得cosB=2222acbac=14……6分(II)由(I)知2b=2ac.因为B=o90,由勾股定理得222ac=b.故22ac=2ac,的c=a=2.所以△ABC的面积为1.……12分18、解:(I)因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.……5分(II)设AB=x,在菱形ABCD中,又∠ABC=o120,可得AG=GC=32x,GB=GD=2x.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可的EG=32x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=22x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积EACDV=13×12AC·GD·BE=366243x.故x=2……9分从而可得AE=EC=ED=6.所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.……12分19、解:(I)由散点图可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程式类型.(II)令wx,先建立y关于w的线性回归方程式.由于28181()()108.8d=681.6()iiiiiwwyyww,563686.8100.6cydw,所以y关于w的线性回归方程为y=100.668w,因此y关于x的回归方程为y100.668x(Ⅲ)(i)由(II)知,当x=49时,年销售量y的预报值y100.66849=576.6,年利润z的预报值z=576.60.24966.32……9分(ii)根据(II)的结果知,年利润z的预报值z=0.2(100.6+68)-=-13.620.12xxxx.所以当13.6=6.82x,即x=46.24时,z取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.……12分20、解:(I)由题设,可知直线l的方程为1ykx.因为l与C交于两点,所以223111kk.解得474733k.所以k的取值范围为4747(,)33.……5分(II)设1122,,(,)MxyNxy.将1ykx代入方程22(2)(3)1xy,整理得22(1)4(1)70kxkx.所以1212224(1)7,11kxxxxkk.1212OMONcxyy2121211kxxkxx24181kkk.由题设可得24181kkk=12,解得k=1,所以l的方程是y=x+1.故圆心C在l上,所以2MN.……12分21、解:(I)fx的定义域为20,,2(0)xafxexx.当a≤0时,0fxfx,没有零点;当0a时,因为2xe单调递增,ax单调递减,所以fx在0,单调递增,又0fa,当b满足0<b<4a且b<14时,()0fb,故当a<0时fx存在唯一零点.……6分(II)由(I),可设fx在0,的唯一零点为0x,当00xx,时,fx<0;当0xx,时,fx>0.故fx在0,单调递减,在0x,单调递增,所以0xx时,fx取得最小值,最小值为0fx.由于02020xaex,所以0002221212afxaxanaanxaa.故当0a时,221fxaana.……12分22、解:(I)连接AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠OED+∠ABC=o90,所以∠DEC+∠OEB=o90,故∠OED=o90,DE是O的切线.……5分(II)设CE=1,AE=x,由已知得AB=23,BE=212x.由射影定理可得,2AECEBE,所以2212xx,即42120xx.可得3x,所以∠ACB=60o.……10分23、解:(I)因为cos,sinxy,所以1C的极坐标方程为cos2,2C的极坐标方程为22cos4sin40.……5分(II)将4代入22cos4sin40,得23240,解得1222,2.故122,即2MN由于2C的半径为1,所以2CMN的面积为12.……10分24、解:(I)当1a时,1fx化为12110xx>.当1x时,不等式化为40x>,无解;当11x<<时,不等式化为320x>,解得213x<<;当1x,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以1fx的解集为223xx︱<<.……5分(II)由题设可得,12,1312,1,12,.xaxfxxaxaxaxa<<所以函数fx的图像与x轴围成的三角形的三个丁点分别为21,0,21,0,,13aABaCaa,△ABC的面积为2213a.由题设得2213a>6,故a>2.所以a的取值范围为2,.……10分