武汉大学电动力学-刘觉平第2章习题答案

1第二章狭义相对论目录习题2.1相对性原理................................................................................................2习题2.4特殊Lorentz变换..................................................................................5习题2.5Minkowski四维时空.............................................................................9习题2.6狭义相对论的时空观念..........................................................................18习题2.7相对论运动学..........................................................................................25习题2.8相对论粒子动力学..................................................................................32相对论本身有点玄，很多东西对逻辑要求很高，容易犯一些错误。这一章，基本上所有题目都看了，只是两个经典的佯谬——双生子，能不能落入洞中，这两个问题很多书上都有讨论，大家可以参看其他参考书。托马斯进动的题目也没看，本身不复杂，只是不想看了。2习题2.11.试由相对性原理与惯性系的定义证明两惯性系中事件的时空坐标变换一定是线性变换。证：惯性系即为牛顿运动定律在其中成立的参照系。不失一般性，可取两个惯性系S和'S，在两系中各建一个三维空间正交坐标系，其对应轴两辆相互平行，以（t,x,y,z）和(',',',')txyz分别代表从S系和'S系观察到的一个物理事件。则有变换关系''(,,,)''(,,,)''(,,,)''(,,,)tttxyzxxtxyzyytxyzzztxyz若设质点在S系中作匀速直线运动，则有222222000xyzdxFmdtdyFmdtdzFmdt则在'S中，由相对性原理，也有2'22'22'2''0''0''0xyzdxFmdtdyFmdtdzFmdt则有,,,'''',',',xyzxyzdxdydzuuudtdtdtdxdydzuuudtdtdt可以验证下式成立[]('''(''')')0xyxyzzuuxyzuuuttu此线性方程组的解的一般形式为3''''ttxxAByyzz（A、B为常矩阵）则两惯性系中事件的时空坐标变换一定是线性变换。2.试由相对性原理和时间绝对性假定证明一刚性杆的长度在所有惯性系中都是相同的，这一结论通常称为空间绝对性。证：由相对性原理，可以推出时空坐标变换公式22221()'()()'()()''vtvtvxvxvtyyzz(其中（t,x,y,z）和(',',',')txyz分别是两惯性系中的时空坐标，'S系相对于S系以v向x轴正方向作匀速直线运动。)当用上时间绝对性假设后，有'tt，则2()v＝1则''''xxvtyyzztt则杆的两端点在'S系与S系中分别为123456123456(',','),(',',')(,,),(,,)xxxxxxxxxxxx显然33223311('')()iiiiiixxxx即33223311('')()iiiiiixxxx则一刚性杆的长度在所有的惯性系中都是相同的。43、试由相对性原理与空间绝对性假定导出任一事件的时空变换公式。解:空间绝对性，即刚性杆的长度不变S相对于S以速率v沿X轴正向移动；且当S与S系的原点重合时，安放在原点的两时钟均指示零点。假设在P点发生一个事件，由相对性原理及惯性系的定义，我们有以下时空坐标变换公式：22221VtVtxVxVxVtyyzz（1）考虑到原点O在S系中坐标为S：O（t,0,0,0）；O在S系中坐标为S：O（t,-vt,0,0）；由空间绝对性假定，PO在两参照系中不变，有22222200000xyzxvtyz（2）将(1)式代入（2）式，得2221xx，则21有:22tVtxVxVtyyzz其中1。又0V时xx,所以01故1同时由于变换的连续性可以知道，任意时刻，1，即为常数则ttxxVtyyzz4证明牛顿力学定律在Galileo变换下不变。5证明：由Galileo变换ttxxVtyyzz及牛顿力学定律F＝mamx由于在不同惯性系中mm，FF，则2222FFmxdxmdtdmxVtdtmx故牛顿力学定律在加利略变换下不变。习题2.41．证明任何特殊Lorentz变换保持两事件的间隔不变证明：即证2SS特殊Lorentz变换：''2(1)/TTctctxxI所以22121212TSctctxxxx622222122Tctctctxctxctx1212222221112TTTTTTxxxxctIxctIxctxIxctI2222222211122TTTTxctxIxctxc22222TTtxIxctx比较各项，最后可得222SctxxS因为总可以选择运动方向为x轴，故也可以用沿x轴的特殊Lorentz变换去验证。2．证明特殊Lorentz变换的变换矩阵的行列式为1特殊Lorentz变换：''2(1)/TTctctxxI212322211112132222212223223313233detdet(1)/1(1)/1(1)/1(1)/=1(1)/1(1)/1(1)/1(1)/1(1)/1(1)/TTI2123123222123123/(1)/(1)/(1)100=010001()/(1)()/(1)()/(1)/(1)/(1)/(1)0100=det00100001rr=222123()/(1)()/(1)()/(1)7=22/(1)=13．证明同方向的特殊Lorentz变换相互对易，但不同方向的特殊Lorentz变换不对易。证明：对于同方向的特殊Lorentz变换，我们总可以适当选取参照系，使特殊Lorentz变换改为沿X轴方向的特殊Lorentz变换，设第一次变换速度为1，第二次变换速度为2。设：1212,cc，12221211,11，则由特殊Lorentz变换知1112221112221200000000(),()0010001000010001所以：111222111222121212121212121212121200000000()()0010001000010001()00()0000100001由矩阵的乘法，知：222111222111211212121212121212121200000000()()0010001000010001()00()0000100001所以1221()()()()，即同方向的特殊Lorentz变换相互对易。对于不同方向的特殊Lorentz变换，设第一次变换速度为1，第二次变换速度为2则81212122212,11,11cc1112221212111122222212()()11TTTTJJ2121212122111122221212121122221211212221122111()111()1TTTTTTTTTJ21122221212121212122212121211121211112111221122221121()()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆˆTTTTTTTnnnnnnnnnnJnnnnnnnnnn222121212121212ˆˆˆˆ1ˆˆˆˆ11TTTnnnnnnnn要使不同方向的特殊Lorentz变换对易，只要证明交换12,，12,，上面结果（A记为）不变即可，现在我们来研究这个问题：○1取11121212TA，交换12,，12,后，1112122112121211TTAA，保持不变○2取121222121212