武汉大学电动力学-刘觉平第3章习题答案

第三章电磁相互作用的基本规律目录：习题3.1带电粒子在电磁场中的运动规律............................................................2习题3.2电磁场在外场作用下的运动规律............................................................2习题3.3电磁场的能动张量定理............................................................................9习题3.4电磁场的角动量张量定理......................................................................11习题3.5介质中的Maxwell方程组..................................................................12习题3.6介质中电磁场能-动量与角动量定理..................................................23习题3.8波动方程..................................................................................................30习题3.9平面电磁波的偏振..................................................................................35习题3.10电磁场的螺旋度......................................................................................38规范不变性的内容都空了，没有处理。最后两节也没有处理，不过本身做的很详细。其他都好好看了。习题3.11．试证作用量int0bppfreeaSSSmcdseAdx在1U规范变换111AUAUiUUe下不变。式中expUie证明：2．将带电粒子的加速度用它的速度以及电场强度和磁感强度表示出来解：加速度定义：dvadt由于03/20002122dmvdpdvdvdvmmvmamvdtdtdtdtcdt所以5/25/222dpvvvvmamamaIaMdtcc而dpeEvBdt所以1aeEvBM其中5/22vvMmIc，是一个二阶张量习题3.21．证明由式（3.2.2）定义的电荷密度与式（3.2.3）定义的三维电流密度满足连续性方程。证明：由式（3.2.2）知电荷密度为3()()()()lllxQxx由式（3.2.3）知三维电流密度为()33()()()()()()()llllllldxdxdxjxQxxQxxdtdtdt有33()()()()()()3()()()()()()llllllllllllxxxxdxQQttxdtxxdxQxdt而()3()()(())lllldxjQxxdt由于()ldxdt与x无关,故3()()()()lllldxxxjQdtx所以0jt2．试证：直至A的一阶导数，除开一个常数因子，电磁场场强张量的对偶张量是在(1)U规范变换下不变的唯一的一个二阶赝张量。证明：若有二阶张量T,则在空间反演变换下，张量TT满足关系TT由于是四阶赝张量,所以TTT即T是二阶赝张量,则由A和构成的二阶赝张量的普遍形式为()TaAAbAcA若在定域规范变换AA下不变，则有(()())TTaAAbcT所以0abc则TbF，即12FF是除开一个常数因子，唯一的二阶赝张量附：书上已证明，在U（1）规范变换不变下，F是唯一的一个二阶张量。现在若存在一个不变的二阶赝张量，必然是F的组合，只有这样才能满足U（1）规范变换不变，另一方面，我们知道是唯一的四阶赝张量，所以12FF。3．证明电磁场场强协变张量F分量表达式（3.1.27），并导出相应的逆变，混变张量的分量表达式。①证明F的分量表达式有FAA332112123123ˆˆˆ()()()ˆˆˆzyxzzyyxxBAAAeAAeAAeBeBeBe考虑到F的协变形式，则121323zyxFBFBFB同样考虑到F的协变形式，则00030120010203()ˆ()(())ˆˆˆ()()()ˆˆˆiixyzxxyyzzAcAEcAetxcAAecAAecAAeEeEeEe所以010203xyzFEcFEcFEc又由FAA，知FF即，F为反对称张量，所以0000xyzxzyyzxzyxEcEcEcEcBBFEcBBEcBB②导出逆变分量式，混变分量式0100010000010001000001000100000100010000xyzxzyyzxzyxxyzxzyyzxzyxFggFEcEcEcEcBBEcBBEcBBEcEcEcEcBBEcBBEcBB0100010000010001000001000100000100010000xyzxzyyzxzyxxyzxzyyzxzyxFggFEcEcEcEcBBEcBBEcBBEcEcEcEcBBEcBBEcBB0100010000010001000001000100000100010000xyzxzyyzxzyxxyzxzyyzxzyxFgFgEcEcEcEcBBEcBBEcBBEcEcEcEcBBEcBBEcBB4．求出电磁场场强张量的对偶张量F的分量表达式，并证明F与F在所谓对偶变换BEc下互变。解：12FggFggF因为0000xyzxzyyzxzyxEcEcEcEcBBFEcBBEcBB所以0000xyzxzyyzxzyxBBBBEcEcFBEcEcBEcEc所以010001000001000100000100010000010001xyzxzyyzxzyxBBBBEcEcFggFBEcEcBEcEc0000xyzxzyyzxzyxBBBBEcEcBEcEcBEcEc而0000xyzxzyyzxzyxEcEcEcEcBBFEcBBEcBB所以在对偶变换BEc下，F与F互变。５.证明：EBc与222EBc在特殊Lorentz变换下保持其形式不变．解：由F构造的Lorentz不变量必有0F对行列式，行列互换并不改变其行列式，故仅仅包含的偶次方项才能出现．而偶数阶行列式所有元素变号时，该行列式并不变．又由FF，有0FFFF与此相应，在方程内，仅能有两个异于零的系数，即2与4的系数；亦即一个二阶反对称张量的特征是只有两个不变量．代入0000yxzxzyyzxzyxEEEcccEBBcFEBBcEBBc，展开行列式得242222()()0EEBBcc故EBc与222EBc为不变量，在特殊Lorentz变换下保持其形式不变．这个证明比较有意思。下面给出一个通常的证明：把电磁场按坐标系之间的速度方向分解成平行与垂直两部分，即////,EEEBBB则在Lorentz变换下，,EB的变换规律为////////2,BBEEvEEvBBBEc所以2////222////2vBvEEBEBEBcvEBEBEBc所以EBEB可以证明22222222222,vEEvBBBEc所以222222222////////2222211111EBEEBBEBEBEBccccc事实上，由于2222/4FFEcBFFEB由于他们都是收缩而成的Lorentz标量，因而都是Lorentz不变量。另一方面，由于F是赝张量，F是二阶张量，所以EB是赝标量。６.证明：12FFFFgFFEBFFgc．解：对12FFFFgFF，有1124FFFFFF1det4ggggggFFggg1()41()2gFFgFFgFFgFFgFFgFFgFFFFFF将括号中第二项的及第三项的替换为，即得12FFFFgFF这一题，由于涉及的都是二阶张量，可以用矩阵表示，所以可以利用矩阵乘法直接计算证明：○1先证第一式：12FFFFgFF22200000000=xyzxyzxzyxzyyzxyzxzyxzyxyzzyxyyxxzzxyzzyyzxxxxyBBBBBBBEcEcBEcEcFFBEcEcBEcEcBEcEcBEcEcBEBEBEBEBEBEBBcccBEBEEEEBBBBcc