武汉大学电动力学-刘觉平第8章习题答案

第八章波导与谐振腔目录：习题8.1波导管中场的运动规律..........................................................1习题8.2矩形波导..................................................................................4习题8.3圆柱形波导..............................................................................7习题8.4波导中的能量传输与损耗......................................................9习题8.5谐振腔....................................................................................13习题8.6谐振腔的品质因素................................................................15习题8.7同轴传输线............................................................................20习题8.8电介质波导............................................................................21处理了前面四节。习题8.11.求一对相距为b的无限大理想导体平板所构成的波导中可能传播的波型和场分布。解：取垂直于板面的0方向为y轴，设电磁波沿着平行于板面的ze方向传播，因为在x方向是均匀的，从而在导体之间传播的电磁波满足Helmholtz方程，（1）对TM波：0),(0),()({s0022yxEyxEkzzct由于x方向均匀，从而)(),(00yEyxEzz，从而边界条件为0,00byzE其解为：bynEEzsin00，)(0sintkizzebynEE从而：bnkc，又2222zckkkc，所以22bnckz将bynEEzsin00代入导方程002zzycEikEky可得：()02cosziktzyciknnyEEekbb()()0000022coscoszziktiktxcciiknnynnyBEeEekbbckbb其中0kc，即当00zknk所以TM波:00()02()00222sincoscos,zzziktzyciktxccznyEEbiknnyEEekbbiknnyBEeckbbnnkkbcb（2）对于TE波，有：0/)(0)()({b0,y0022yyByBkzzct其解为：bynBBzcos00，)(0costkizzebynBB○1从而：bnkc，又2222zckkkc，所以22bnckz将bynBBzcos00代入导方程，可得：)(02sintkiczyzebynBbnkckiB○2)(020sintkicxzebynEbnkckiE○32.设波导内充满各向同性、线性均匀的介质，对于波导中传播的单色电磁波，引入Hertz矢量，使它满足iBE)(试证：1）Hertz矢量应满足方程是：,0][22k或][22k式中是任意的标量函数，22k，且由Hertz矢量ze确定的电磁波是TM波。2）由Hertz矢量ze确定的另一电磁波iDH)(也是波导中可能存在的波，且是TE波。证明：1）由Helmholtz方程：022Bk其中22k以及iBE)(可知022ik由于22k是一个标量算符，从而可以与交换次序，有：022k，无旋场可表示为标量场的梯度，从而有：][22k由iB，可得：0zzzzeiiB从而由Hertz矢量ze确定的电磁波是TM波2）由iD，可知：0zzzzzeiiED从而由Hertz矢量ze确定的另一电磁波iDH)(也是波导中可能存在的波，且是TE波。想说明的是上面证明中用到了Helmholtz方程，能不能直接从,EB的定义式导出来呢？这又很容易让人想到这样定义Hertz矢量，以及由此定义的,EB与定态Maxwell方程组相容吗？下面我们来讨论他们的等价性问题：01()0(2)(3)(4)EEBBiEiBHiD这里自由电流密度为零根据恒等式：0A可以证明：0,0BE/HBiiEiD这样我们证明了（1）（2）（4）式，但是（3）式推不来，事实上，要是能从左边导得（3），就必须要求][22k，就是我们所证的结论。22E若要求EiB成立，则22即022k，所以][22k，是任意标量函数，取标量原因是B是矢量。所以要使得到我们要证明的结论，Helmholtz方程的引入是必要的（或其等价形式），因为直接由由Hertz矢量定义的,EB是导不出来的。对第二种定义形式，也是类似，可以导得（1）（2）（3）式，结合（4）式可以得到所要证明的结论。3.证明：在理想波导中，1）时平均能流方向平行于波导轴；2）对于TM波型，面电流是纵向的。证明：1）时平均能流s=***11Re()()24EHEHEH******00000000tntntntnEHEHEEHHEEHH这里，由于取共轭的原因，两行波因子相消了：exp()exp()1zzikztikzt由于横场振幅与纵场振幅的相对相位为2，所以假定某一时刻纵场全为实量，那么横场应为虚数。所以：****00000000,;,ttnnttnnHHHHEEEE所以**000000ttnnnnEHEHEHEHEH切向只有一个方向，故矢量积为零，法向有两个方向，所以矢量积可以不为零，但是无论如何，其矢量积的方向都是平行于切向的。从而时平均能流方向平行于波导轴。2）对于TM波型，由于sHn])()[()(00202ztzzztcztzcDeneDnkiDekin因为n和ze互相垂直，从而zztceDnki)(02对于TM波型，面电流是纵向的。习题8.21．证明：在矩形波导中不存在0mTM与0nTM波型。证明：TM波：000sinsinzzBmxnyEEab0mTM：00zE，波导中不存在电磁场。同理，0nTM：00zE，波导中不存在电磁场。因为由导方程，若一个电磁波的纵向磁场和纵向电场都为零，那么其他横向分量比为零。2．频率为10310Hz的电磁波，在0.70.6cmcm的矩形波导能传播的波型有哪些？解：波导管的截止频率222212cmnfab代入数据得，221022823102000.0070.006310mn当m=1,n=0时成立；当m=0,n=1时成立；当m=1,n=1时不成立。所以在矩形波导能传播的波型有1001;TETE。3．如果要在矩形波导中传播频率为9410Hz的10TE型波，应如何选择波导管的尺寸才能防止20TE型波出现？解：波导管的截止频率222212cmnfab波导管的尺寸应满足222111222faa,112aff带入数据得，3.75cma7.5cm。4．写出矩形波导中10TE型波的场分布及其管壁电流分布，并说明其特点。解：10TE型波：000coscoszzEmxnyHHab002002tztzczttzciEeBkikHHk,snH在x=0表面上，000xzyyzHeHe；在x=a表面上，00xazyyzHeHe；在y=0表面上，000yzxxzHeHe；在y=b表面上，00ybzxxzHeHe。说明：在相对的表面上，电流分布大小相等方向相反；与传播方向垂直的电流围成一个环形。5对于在横截面为ab的无耗矩形波导中的10TE波形，求（1）波导中每单位长度的平均电能。（2）波导中每单位长度的平均磁能。从而证明波导中每单位长度的总电磁能为20/4Eab，其中0E是电场的振幅。解：10TE波m=1n=000cos0zxyzxHHaEHE00sinzxikaxHHa00`00000sinsinyiaxxEHiEaaaEH其中　　所以在z处的电能23201sin2ExUEdxa2220000011sin24bazxEdydxdzEabza=＝所以每单位长度的平均电能为13220001148EEVUdxUEabzdzEabVV为单位长度的体积在z处的磁能2223220222200c221cossin211111k2224zHzcxkaxUHdxaakHbzaaHbzaka=　＝　　　220014aEbza所以每单位长度平均磁能为120018HHUUdzEba所以波导中每单位长度的总电磁能为20/4Eab6有一沿ˆze方向无限长，横截面为的无耗矩形波导，在z=0处被一块垂直插入的理想导体平板完全封闭。求在0zz到这段波导中可能存在的波形。解：在此中结构得波导管中，电磁波的传播依旧满足亥姆霍兹方程22000EkEkE方程的通解为：112233,,sincossincossincosxyyyzzExyzCkxDkxCkyDkyCkzDkz根据边界条件有：x0,0,E0,0,yzzEExaEyb0,0,,0,0,,0,0yxzEEExaybzxyz故123cossinsincossinsincossinsinxxyzyyxzzzyxEAkxkykzEAkykxkzEAkzkykx其中，,0,1,2...,0,1,2...xymkmanknb2222012320xyzzmnkkkkAAAkcab＝且7一频率为的TE型波在充有空气的矩形波导内传播，其磁场的纵向分量为0coscosexp33ZzxyHH