电动力学刘觉平版课后答案EDEX第6章-(6)

第七章电磁波的传播目录：习题7.1定态电磁波....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2习题7.2绝缘介质中的平面电磁波....................................................................................................................................................................................................................5习题7.3导电介质中的平面电磁波....................................................................................................................................................................................................................7习题7.4平面电磁波在绝缘介质界面上的反射与折射............................................................................10习题7.5全反射............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................23习题7.6电磁波在导体面上的反射与折射............................................................................................................................................................29最后一节没有处理。习题7.11.证明:对于定态电磁波,方程(7.1.27)或(7.1.28)与Maxwell方程组等价.证:(7.1.27)式为(在导电介质中)2222()0,0kEkEiHEωωµεωµ⎧⎪∇+==⎪⎪∇⋅=⎨⎪⎪=−∇×⎪⎩����)3()2()1(−−−−−−导电介质Maxwell方程组为00fEiBHiDjHiEBDωωωωε⎧∇×=⎪∇×=−+⇔∇×=−⎪⎨∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩��������)7()6()5()4(−−−−−−−−课本已经论述，方程（4）（5）可以推出方程（6）（7）因此下面只要证明方程组（4）（5）与方程组（1）（2）（3）等价。○1(4)(5)(1)(2)(3)⇒由于BHµ=��，所以iEiBHEωωµ∇×=⇔=−∇×����，即方程(4)与方程（3）等价由于DEε=��，所以有(7)(2)⇒将（4）代入（5）即可得到22221()0,EiEkEkiωωωεωµεωµ⎛⎞∇×∇×=−⇒∇+==⎜⎟⎝⎠���○2证明(1)(2)(3)(4)(5)⇒方程(4)与方程（3）等价；对（3）作用旋度()()22iiHEHEEiHEωµωµωµ∇×=−∇×∇×⇒∇×=−∇∇⋅−∇⇒∇×=∇�������将（1）式代入即得（5）.因此(7.1.27)式与Maxwell方程组等价。(7.1.28)式为2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧×∇==⋅∇=+∇HiEHHk����ωωε00)(22)10()9()8(−−−−−−显然(10)(5)⇔对（10）作用旋度，并将（8）代入即可得到（4）所以(7.1.28)式可以推出Maxwell方程组显然(6)(9)⇒将（5）代入（4）可以得到（8）。因此(7.1.28)式与Maxwell方程组等价。2.利用电荷守恒定律在边界上的形式:证明:对于定态电磁波，电磁场的四个边值关系中仅有两个是独立的。证:电荷守恒定律在边界上的形式为:)()(22122212ffffffffjjnijjnt������−⋅+⋅∇+−=−⋅+⋅∇+∂∂πωωπω---(1)电磁场的边值关系只有两个独立的方程⎪⎩⎪⎨⎧=−×=−×fHHnEEnπ�������)(0)(12121212对上式两边求散度,得根据)()()(gffggf������×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇⎪⎩⎪⎨⎧⋅∇=−×⋅−=−×⋅fHHnnEEnnπ���������)]([0)]([121212121212根据Maxwell方程组⎪⎩⎪⎨⎧⋅∇=−×⋅∇=−×⋅∇fHHnEEnπ�������)]([0)]([12121212⎪⎩⎪⎨⎧+−=×∇=×∇fjDiHBiE�����ωω所以0)(1212=−⋅BBn���,ωiDDn1)(1212=−⋅���[2212(fffjjn���−⋅+⋅∇π)]=fω3.证明：任意一对随时间简谐变化的复矢量F��和G��的乘积对时间的平均值由下式决定**11ReReRe()Re()22FGFGFG×=×=×������������式中ReF��表示取F��的实部，而这里的叉积“×”可以全部换成标积。证明：F��和G��为任意一对随时间简谐变化的复矢量，可表示为exp()FFitω=����200111ReRelimReRelimcos()2TTTTFGFGdtFGtdtFGTTω→∞→∞×=×=×=×∫∫����������������22costcosttFGtωω→∞×����当时，随变化十分迅速，可以看作是常量。因此可以先对求平均。因为它是迅速地一个周期一个周期地变化，因此可以用一个周期上的平均值代替。2011cos2xdxππ=∫2011ReRelimcos()2TTFGFGtdtFGTω→∞×=×=×∫������������*111Re()Re(exp())()222FGFGititFGωω×=×−+=×������������*111Re()Re(exp())()222FGFGititFGωω×=×+−=×������������得证对于标积，200111ReRelimReRelimcos()2TTTTFGFGdtFGtdtFGTTω→∞→∞⋅=⋅=⋅=⋅∫∫����������������*111Re()Re(exp())()222FGFGititFGωω⋅=⋅−+=⋅������������*111Re()Re(exp())()222FGFGititFGωω⋅=⋅+−=⋅������������**11ReReRe()Re()22FGFGFG⋅=⋅=⋅������������习题7.21、考虑沿同一方向传播的一个波包()()()00,exp[]kkkkuztdkCkitkzω+∆−∆=−−∫式中00/kcω=，k∆很小，且()Ck是k的缓变函数。试证：(1)在0k附近可近似将波包写成()()(),,exp[]uztCztitkzω=−−式中波包的包络(),Czt为()()0sin,2CztCkkφφ=∆其中0[]dtzkdkωφ⎛⎞=−∆⎜⎟⎝⎠(2)整个波包在空间移动的速度即所谓群速度为()0/gvddkω=(3)这一群速度等于波包能量的传输速度。证：（1）()()()00,exp[]kkkkuztdkCkitkzω+∆−∆=−−∫对C（k）,ω(k)做泰勒展开，取一级近似。C(k)=C(0k)+()00()dCkkdk−()000()dkkdkωωω=+−令0kkk′=−由于()Ck是k的缓变函数，所以C(k)≈C(0k)+0=C(0k)；00()dkdkωωω′=+；,于是，()()()()()000000,exp[]=exp[]'exp[()]kkkkkkuztdkCkitkzdCkitkzdkitzkdkωωω+∆−∆+∆−∆=−−⎛⎞′−−−−⎜⎟⎝⎠∫∫由于积分的对称性，()()()00000,=2exp[]'cos()kduztCkitkzdktzkdkωω+∆⎡⎤⎛⎞′−−−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫令00()',()ddtzktzkdkdkωωφφ⎛⎞⎛⎞′=−=−∆⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠所以()()()0000,=2exp[]'cos'kuztCkitkzdφωφφφ∆−−∫()()()000sin,2exp[]uztCkitkzkφωφ=−−∆()00(,)exp[]Cztitkzω≡−−其中，()0sin(,)2CztCkkφφ≡∆（2）群速度即为等振幅面传播的速度。而振幅(,)Czt为常量即为φ=常量上式两边对时间求导得0()gdzdvdtdkω==（3）因为能量正比于振幅的平方。而波包的包络正是振幅。群速度即为等振幅面传播的速度，所以群速度等于波包能量的传播速度。2、证明群速度()/gvddkω=满足11gpdnvvndλλ−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠式中n是介质的折射率。设空气的折射率为1821.000271.510/nλ−=+×，λ的单位为m试问，平均波长为550nm的1ns的光脉冲在空气中传播10km所需要的时间比它在真空中传播同样距离所需时间长多少？证：gv=()pppdvkdvvkdkdk==+代入2,pckvnπλ==2222gpcdnnvvdππλλλ−=+−1ppvdnnvdλλ=+(1)pdnvndλλ=+与命题并不一致，但是显然，当dnndλλ是小量时，111ppdndnvvndndλλλλ−⎛⎞⎛⎞−≈+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，两者是一致的。而本题，18633.0109.91610dnndnλλλλ−−×==×确实很小，两者应相当接近。3310101010gtvc××∆=−33210101010ccdncnndλλ××=−+89.3(8.84,matlabc2.997910m/s)nsns≈=×用计算的，且取光速习题7.3**1..,0ii(i)ii2i0,0kkkkkkβαβαβαβββααβαααβαβαβ×==+×=+×−=×−×+×+×=×=×=������������������������������������������������按定义，若一平面波的振幅矢量在等相位面上为常矢量，则此平面波为均匀平面波证明：对一复波矢若，则它为平面波，否则为非均匀平面波.证：令，则（）故有，从而与在同一条直线上，即0000E,EBexp[i(xt)]EBexp[i(x)]exp[i(xt)]xxBkαβωαβωββαα=•−=−••−•=•=����������������������������������方向相同或相反，从而与垂直的平面和与垂直的平面互相平行.平面波是下述不同频率的单色平面波的线性叠加，（）（，）（，）由上式可知，等相位面方程为常量，即垂直于的平面.而等幅面