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第一章三維歐氏空間中的張量目录：习题1.1正交坐标系的转动....................................................................1习题1.2物理量在空间转动变换下的分类............................................6习题1.3物理量在空间反演变换下的进一步分类................................8习题1.4张量代数..................................................................................12习题1.5张量分析..................................................................................18习题1.6Helmholtz定理...................................................................31习题1.7正交曲线坐标系......................................................................35习题1.8正交曲线坐标系中的微分运算..............................................38习题1.11、设三个矢量,,abc���形成右（左）旋系，证明，当循环置换矢量,,abc���的次序，即当考察矢量,,(,,)bcacab������时，右（左）旋系仍保持为右（左）旋系。证明：()Vabc=×⋅���，对于右旋系有V0.当循环置换矢量,,abc���次序时，()Vbca′=×⋅���＝()0cabV×⋅=〉���。（*）所以，右旋系仍然保持为右旋系同理可知左旋系情况也成立。附：（*）证明。由于张量方程成立与否与坐标无关，故可以选取直角坐标系，则结论是明显的。2、写出矢量诸分量在下列情况下的变换矩阵：当Cartesian坐标系绕z轴转动角度α时。解：变换矩阵元表达式为ijijaee′=⋅��1112212213233233cos,sin,sin,cos,0,1aaaaaaaaαααα===−=====故()cossin0sincos0001Rααααα⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠3、设坐标系绕z轴转α角，再绕新的y轴（即原来的y轴在第一次转动后所处的位置）转β角，最后绕新的z轴（即原来的z轴经第一、二次转动后所处的位置）转γ角；这三个角称为Euler角。试用三个转动矩阵相乘的办法求矢量诸分量的在坐标轴转动时的变换矩阵。解：我们将每次变换的坐标分别写成列向量,,,XXXX′′′′′′，则()()(),,zyzXRXXRXXRXαβγ′′′′′′′′′′′′′===∴()()()zyzXRRRXγβα′′′′′′=绕y′-轴转β角相当于“先将坐标系的y′-轴转回至原来位置，再绕原来的y-轴（固定轴）转β角，最后将y-轴转至y′-轴的位置”。因而1()()()()yzyzRRRRβαβα−′=同理有1()()()()zyzyRRRRγβγβ−′′′′=∴111()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()zyzyzyyzyzzzyzzzzyzzzzyzRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRγβαβγββαβγααβαγααβααγαβγ−′′′′′′−′−=====易知：()cossin0sincos0001zRααααα⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，()cossin0sincos0001zRγγγγγ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，()cos0sin010sin0cosyRβββββ−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∴()()()(),,zyzRRRRαβγαβγ=＝coscoscossinsinsincoscoscossinsincoscoscossinsincossincossincoscossinsincossinsinsincosγβαγαγβαγαβαγβαγαγβαγαβαγβγββ−+−⎛⎞⎜⎟−−−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠//上面的解答让人疑惑。就结论()()()(),,zyzRRRRαβγαβγ=本身让人觉得没有什么物理意义，分别绕原来的z轴，y轴，z轴转动怎么可能呢？且绕y’轴转β角等效于绕原来y轴转β角，怎么说？实际上，()()(),,zyzXRXXRXXRXαβγ′′′′′′′′′′′′′===∴()()()zyzXRRRXγβα′′′′′′=而()cossin0sincos0001zRααααα⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，()''cossin0sincos0001zRγγγγγ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，()'cos0sin010sin0cosyRβββββ−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠就直接可以得到：()()()(),,coscoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscoscossinsincossincoscossinsinsincossinsincoszyzRRRRαβγγβαγβαγαγβαγαγβγβαγαγβαγαγββαβαβ′′′=−+−⎛⎞⎜⎟=−−−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠这个结果与《物理学中的数学方法》F.W.拜伦R.W.福勒著（P12）结果一致（上面运算结果由Matlab验算过）4设xa、ya与za是矢量的Cartesian坐标，则()01,2xyzaaiaaa±=±=∓称为矢量a的循环坐标。设坐标系作一有限转动R(,,αβγ)，这里,,αβγ是相应的Euler角，试写出矢量诸循环坐标系转动时的变换矩阵。解：由题意得：0xyzaaaAaaa+−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠（1）10220011022iAi⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠所以111022022010iiA−⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠坐标变换后，0aaa+−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠经变换矩阵D变为''0'aaa+−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，即''00'aaaDaaa++−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠（2）又''''0''xxyyzzaaaaAaARaaaa+−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠，0xyzaaaAaaa+−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠所以''100'aaaARAaaa++−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠（3）所以由（2）、（3）得1DARA−=最后得2()2()2()2()1cossinsin22211sincossin221sinsincos222iiiiiiiieeeDeeeeeαγγαγαααγγαγβββββββββ−+−−−−−+⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠详细步骤：11110022coscoscossinsinsincoscoscossinsincos22001coscossinsincossincossincoscossinsin0221cossinsinsincos001022DARAiiiiαβγαγαβγαγβγαβγαγαβγαγβγαβαββ−=⎛⎞−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−+−⎛⎞⎜⎟⎜⎜⎟=−−−+⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠⎜⎟−⎜⎜⎟⎝⎠⎜⎝⎠2(111110(coscossin)(sincoscos)sin2222222coscossinsincos022111(coscossin)(sincoscos)sin01022222cos2iiiiiiiiieeeiiiieeeeγγγγγγαγαβααβαβαβαββαβααβαββ−−−−+⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎞−⎛⎞⎜⎟−+−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠=)2()2()2()1sinsin2211sincossin221sinsincos222iiiiiiieeeeeeeγαγαααγγαγββββββββ−−−−−+⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠2()2()2()2()1cossinsin22211sincossin221sinsincos222iiiiiiiieeeDeeeeeαγγαγαααγγαγβββββββββ−+−−−−−+⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠（结果经Matlab验算，正确）因此三四两题课本给出答案均无误。5、试证坐标系作无限小转动的变换矩阵可写成α＝I＋ε，其中ε是反对称矩阵，而I是二阶单位张量；并指出ijε的几何意义。证：为了清楚起见，我们先用矩阵语言证明ε是反对称矩阵：()()()()()()TTTTTTTTTxIxxxxIIxxxxIxxIxεεεεεεεεε′′′=+⇒=++′′⇒=+++≈++������������舍去高阶小量由于长度是转动变换不变量，TTxxxx′′=����于是()00TTTxxεεεε+=+=��，即，故ε是反对称矩阵（上面，ATA表示的转置）下面用分量语言证明：处理时，要特别小心行向量和列向量，因为这在分量语言中是看不出来的。为了以示区别，iixx□□我们用表示行向量，表示列向量由于是做无限小转动，所以可以写成：'iiikkxxxε=+□□□（1）又由于''iiiixxxx=（长度是旋转不变量）（2）()()()2=iiijjiiikkiiikkiijijjijikkiiikkiijijiijjiijisxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxεεεεεεεεεε′′==++=+++≈++++□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□∵所以()jjiijixxεε+□□，由于ix的任意性，可得到jiijεε+=0即｛0,(1,2,3),()iiikkiikiεεε===−≠即ijjiεε=−，为反对称矩阵的矩阵元若不加以区分，很容易得到这样一个错误的结论：,0000,ikkiijijikkjijijjiijijijjijijiijijjixxxxxxxxxxxxxxεεεεεεεεε←←∴++=⇒+=⇒+==即若考虑二阶项，就会得到是一个对称矩阵的错误结论虽然哑指标可以任意的换字母，但是那里面的,ijxx在两个项中是不一样的（有行向量和列向量的区别）由此可将（1）（2）两式写成矩阵形式，'rrα=��，Iαε=+（I为二阶单位矩阵，ε的元为之前的ijε，即是反对称矩阵）引入矢量δφ�，使2ijkjkiεεδφ−=，其中ijkε为三阶全反对称张量，则因为恒等式()()22ilmlmlmijkjlkmjmkljkεεεεδδδδε−=−−=−得ijkijkεδφε=−则ijkjkikkxxεδφε=（3）结合（1）式右边，得出'rrrδφ=+×����由此可知δφ�为坐标系所做的无限小角转动的角位移。同时，由ijkjkikkxxεδφε=，及()()ˆˆˆˆˆˆijkijkkijeeeeeeε=×⋅=×⋅可知，()ˆˆkikieeδφε×⋅=的所以kiε本身是矢量()kiee×��与δφ�的标积，kijjeεδφδφ=⋅=��，其大小就是无穷小角位移δφ�在j方向上的分量的jδφ�大小应该说，这个题目的另一意义在于对叉积可以变成点积运算：rrδφε×=⋅���，可惜的这只能在三维空间中成立，关键是2ijkjkiεεδφ−=只在三维空间中成立。不过也没什么，叉积本身只在三维空间中有通常意义。6、试证三维空间的转动变换（1.1.4）矩阵的矩阵元满足关系式（1.1.20）与（1.1.22）证：由表达式（1.1.4）得坐标的转动变换：'iijjxax=（1）则'iijjxax∂=∂，此即（1.1.20）式将（1）式两边同时乘以ika，并对指标i求和'iikijikjxaaax=（2）由'22xx=得'2ijikjkiixaaxxxx==可得正交关系ijikjkaaδ=（3