选修1-2-推理与证明

推理与证明1．推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。2．推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。合情推理与演绎推理1.推理一般包括合情推理和演绎推理；2.合情推理包括和；归纳推理：从个别事实中推演出，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是：、、.类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也或，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是：、、.3.演绎推理：演绎推理是，按照严格的逻辑法则得到的推理过程；三段论常用格式为：①M是P，②，③S是P；其中①是，它提供了一个个一般性原理；②是，它指出了一个个特殊对象；③是，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程．例1.已知：；通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________________________________________=（*）并给出（*）式的证明.变式训练1：设，，n∈N，则例2.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，23150sin90sin30sin22223125sin65sin5sin22223)()(,cos)('010xfxfxxf'21()(),,fxfx'1()()nnfxfx)(2008xf按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是.变式训练2：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。例3.请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。变式训练3：观察式子：，…，则可归纳出式子为（）A、B、[来源:学科网]C、D、例4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误变式训练4：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是。直接证明与间接证明1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法——分析法和综合法.222bac321,,sss4s222bar21,aa21122221aaaaaa474131211,3531211,23211222222121131211222nn121131211222nnnnn12131211222122131211222nnnbabba⑴综合法——；⑵分析法——；2.间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）.例1．若均为实数，且。求证：中至少有一个大于0。变式训练1：用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是例2.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：。变式训练2：用分析法证明：若a0，则。例3．已知数列，，，．记．．求证：当时，（1）；（2）；（3）。cba,,62,32,22222xzczybyxacba,,abNba,,ba,cbacbba311212122aaaana0na01a)(12121NnaaannnnnaaaS21)1()1)(1(1)1)(1(11121211nnaaaaaaTNn1nnaa2nSn3nT推理与证明章节测试题1.考察下列一组不等式：.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是.2．已知数列满足，（），则的值为，的值为．3.已知，猜想的表达式为（）A.；B.；C.；D..4.某纺织厂的一个车间有技术工人名（），编号分别为1、2、3、……、，有台（）织布机，编号分别为1、2、3、……、，定义记号：若第名工人操作了第号织布机，规定，否则，则等式的实际意义是（）A、第4名工人操作了3台织布机；B、第4名工人操作了台织布机；C、第3名工人操作了4台织布机；D、第3名工人操作了台织布机.5.已知，计算得，，，，，由此推测：当时，有6.观察下图中各正方形图案，每条边上有个圆圈，每个图案中圆圈的总数是，按此规律推出：当时，与的关系式7.观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论：.8.函数由下表定义：,5252522233,5252523344,525252322355na12a111nnnaaa*nN3a1232007aaaa2()(1),(1)1()2fxfxffx*xN（）(fx）4()22xfx2()1fxx1()1fxx2()21fxxmmNmnnNnijaij1ija0ija41424343naaaann*111()1()23fnnNn3(2)2f(4)2f5(8)2f(16)3f7(32)2f2n(2)nnnS2nnSn24nS38nS412nS()fx……若，，，则．9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝,第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形,第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形,第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形,第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形,以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为_颗.(结果用表示)10.将正奇数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行17192123…………[来源:学科网ZXXK]2725那么2003应该在第行，第列。[来源:学科网ZXXK]11．如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，，一直数到2008时，对应的指头是(填指头的名称).12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为_____．13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有个小正方形.05a1()nnafa0,1,2,n2007ann...[来源:学。科。网]x25314()fx12345图1图2图3图414．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）[来源:学科网ZXXK]15.如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则.类比以上性质,体积为的三棱锥的第个面的面积记为,此三棱锥内任一点到第个面的距离记为,若,则(B)A.B.C.D.16.设O是内一点，三边上的高分别为，O到三边的距离依次为，则_________，类比到空间，O是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别为，O到这四个面的距离依次为，则有___[来源:学_科_网Z_X_X_K]17．在中，两直角边分别为、，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥中的三条侧棱、、两两垂直，且长度分别为、、，设Si1,2,3,4iaiPi1,2,3,4ihi31241234aaaak412iiSihkVi1,2,3,4iSiQi1,2,3,4iHi31241234SSSSK41iiiH4VK3VK2VKVKABCABC,,ABChhh,,abclllabcABClllhhh,,,ABCDhhhh,,,abcdllllRtABCabh222111habSABCSASBSCabc棱锥底面上的高为，则．18、若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则=时，数列也是等比数列。19．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且，如果b＝m（mN*），则这样的三角形共有个（用m表示）．20．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n行(n≥2)中第2个数是________（用n表示）.[来源:学*科*网]21．在△ABC中，，判断△ABC的形状并证明.22．已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设23.中，已知，且，求证：为等边三角形。ABChna)(121nnaaanbnbnc0ndndndabc≤≤1223434774511141156162525166CBCBAcoscossinsinsinABCBabsin323CAcoscosABC24．如图，、、…、是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．（1）写出、、；（2）求出点（）的横坐标关于的表达式并证明.),(111yxP),(222yxP),(nnnyxP)0(21nyyyC)0(32yxyn)0,(iiaAni3,2,1xiiiPAA10A1a2a3a)0,(nnaAnNnan推理与证明章节测试题答案1.3．3.B.4.A5.6.7.8.49.10.251,312．食指12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为__7____．13．14．15、B提示:平面面积法类比到空间体积法16．1.提示：平面面积法类比到空间体积法17．．18、提示：等差数列类比到等比数列，算术平均数类比到几何平均数19．20．21．解:*(,0,,,,)nnmkkmababababmknmnkN1,32*21(2)()2nnfnN22(2)nn2*(1)(32)(21),nnnnnN*(1)(41)6nnnnN2322nn48n22221111habc*12,nncccnN)(121nnaaanb*12,nnndcccnN(1)2mm222nnCBACBCBA,coscossinsinsin)sin()sin(cossincossinCBCACABA所以三角形ABC是直角三角形22．三个方程中都没有两个相异实根证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.①由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至