电动力学刘觉平版课后答案EDEX第4章-(4)

第四章恒场目录目录目录目录习题4.1恒场的基本方程....................................................................................................................................................................................................................................................................................2习题4.2恒场能量的势表达式....................................................................................................................................................................................................................................................7习题4.3恒场唯一性定理....................................................................................................................................................................................................................................................................................8习题4.4导体系静电叠加原理与静电屏蔽效应....................................................................................................................................8习题4.5导体系电容与电势系数和相互作用能....................................................................................................................................9习题4.6导体系静电平衡条件与静电体系稳定性............................................................................................................12习题4.7Green定理与Green互易定理................................................................................................................................................................................12习题4.8作用在导体面上的电场力............................................................................................................................................................................................................12习题4.9恒场中的多极展开............................................................................................................................................................................................................................................................15这一章是所有电动力学教材都要涉及的内容，题目也不难。习题4.11．试由恒场所满足的基本方程导出恒场条件。解：恒场满足的基本方程，,00,ffDEBHjρ∇⋅=∇×=∇⋅=∇×=����������0,0ffjttρ∂∂==∂∂�且有,,DEBHεµ==���������所以,10,00,0ffEEtttBBjtttρωµ∂∂∂∇⋅==∇×=∂∂∂∂∂∂∇⋅=∇×==∂∂∂���������因无穷远处,EB����均为0，由亥姆霍兹定理知，0,0EBtt∂∂==∂∂����此即为恒场条件。证毕2．从式（4.1.40）导出式（4.1.44），从而验证两个稳恒电流回路之间的相互作用力满足牛顿第三定律。12'''1233'12'3''''3()[()()]...................(4.1.40)4||()().........................................(4.1.44)4||ffvvLLLLjxjxxxFdxdxxxIIdldlxxFxxµπµπ××−=−−⋅−=−−∫∫∫∫���������������������������解：若电流体系是一个稳恒电流圈L，则()()fffsjdvjddlIjxdconstσσ=⋅=⋅=∫���������所以12'''1233'12'3''''3''''''3'3()[()()]4||[()]4||()()(){[]}4||||ffvvLLLLjxjxxxFdxdxxxIIdldlxxxxIIdldlxxxxdldlxxxxµπµπµπ××−=−−××−=−−⋅−−=−+⋅−−∫∫∫∫∫∫�����������������������������������������''3'1'()1[]0||||10||Lsxxdldxxxxrrxxσ−−⋅=−⋅∇×∇=−−∇×∇=∇×=−∫∫������������̂����而第一个等号是用了斯托克斯定理第二个等号是由于所以''''12'3()()4||LLIIdldlxxFxxµπ⋅−=−−∫∫�������������证毕3．应用静电场的势方程证明()()pxρδ=−⋅∇���是一个位于原点的电偶极矩为p��的电偶极子的电荷密度。证：对于原点处的电偶极子，2000111,4411,4prprrEprϕπεπεϕπε⋅==−⋅∇=−∇=⋅∇∇��⌢������所以20011[()]411[()]()()4ijjijjiiEprppxrρεϕεπδπ=−∇=∇⋅=∂∂∂=∂∂∂=−⋅∇�����4.证明:(1)在面电荷两侧,电势是连续的,但电势的法向微商却有跃变121212nnjjw-=式中12n是边界面的法向,而w是边界面上的面电荷密度.(2)在面电偶极层两侧,电势的法向微商是连续的,但电势却有跃变:121201npjje--=?�����式中,0lim.lplss?=���是面电偶极层的面电偶极矩密度解(1)1112112112=nDnDnjj¶=-?-¶���������∵12==DDw\--原式(2)12121201212001()(+)-1-1=()EEnnpnljjresee?=-=??������������������证明：（1）因为Eϕ=−∇��所以(,,)xyzdlEϕ∞=−⋅∫���因而ϕ是x,y,z的连续可微函数，故有12ϕϕ=又1212()nDDω⋅−=���������，122211()()DDεϕεϕ−=∇−������所以112212//nnϕϕω∂∂−∂∂=（2）如图所示由（1）中结论知11112312/|/|Ssnnϕϕω∂∂−∂∂=22312212/|/|Ssnnϕϕω∂∂−∂∂=−将两式相加得()()1221112212312312/|/|/|/|0SsSsnnnnϕϕϕϕ∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=区域1区域2区域31S2S其中2123123123212/|/|Ssnnlnϕϕϕ∂∂∂−∂∂=∂当0l→时，12112212/|/|Ssnnϕϕ∂∂−∂∂=0又1113||SSϕϕ=，2223||SSϕϕ=所以12123330120312||(1/)()SSlnlnϕϕϕϕϕεεϕ∂−=−==−⋅−∇∂���其中0303VllEldvQlpεϕερ−∇====∫�����（此处V只包含一个分界面）所以12012(1/)npϕϕε−=−⋅�����5.有一半径为a的磁化介质球,球心取在坐标原点,若球中的磁化强度为�2()zMAzBe=+���,求磁化电流和等效磁荷.解：磁化电流密度：2det///000xyzmeeejMxyzAzB⎛⎞⎜⎟=∇×=∂∂∂∂∂∂=⎜⎟⎜⎟+⎝⎠��������������1212()mnMMπ=−×−��������������因为20M=����所以面磁荷流密度：121det///[(/)(/)]00xyzmxyeeenMxayazaMyzexaeMπ⎛⎞⎜⎟=−×=−=−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠������������������������磁荷密度0002mMMAzzρµµµ∂=−∇⋅=−=−∂���面磁荷密度0121201210()mznMMnMMaωµµµ=⋅−=⋅=������������������6.证明:若稳衡电流I形成的电流圈对场点x所张的立体角为W,则该电流圈的场点的磁标势是/(4)mIjp=-W解:将这一电流圈划分成无数的小电流圈，对于每一个小块面元，都相应的有一个磁矩，dmIdσ=��它所产生的磁标势为14mIddrϕσπ=−⋅∇�（1）所以整个回路L产生的磁标势是14mIdRϕσπ=−⋅∇∫�2ˆˆdrdrRdσσ==Ω�这里，我们对立体角Ω的正负进行规定：按右手螺旋法则，当观察点在曲面法向的正方向时，立体角0Ω，反之0Ω，以前大多数情况下认为Ω是总大于零的。所以当我们认为ˆr与R�的方向相同时，那么22ˆˆdrRdrRdσ=Ω=−Ω�22144mIIRdRϕππ−Ω=Ω=−∫反之，仍然得到这个结果。这里处理与书上略有不同，将书上的问题揭露出来了。关键是这里面，2dRdσ=Ω不是总能成立，左边总是大于零，右边可正可负。事实上，如果我们认为Ω是总大于零的，而将正负号归于电流I，那也可以。这里的一些问题本质上是由于观察点与坐标原点不是同一点。7．证明：在孤立的带电导体表面上，电场强度的法向导数由下式给出：12111()EEnRR∂=−+∂式中1R与2R是曲面的主曲率半径。证明：在导体的表面的一面积元S∆处沿导体的表面法向方向取一小体积元，使两底面分别在导体内外，设导体S∆上所带的电荷为q，而上下底面均与法向垂直，而导体内部电场为0，那么由高斯定理可知：0qEdσε=∫��i�得0qESESε∆=∆=��i（因为ES∆���）有0qESε=∆令sS=∆则有0qEsε=那么得20EqEsssε∂=−=−∂,EEsEsnsnsn∂∂∂∂==−∂∂∂∂曲面的主曲率半径为R1和R2,又1211ssnRR⎛⎞∂=+⎜⎟∂⎝⎠即12111()EEnRR∂=−+∂关于主曲率半径R1和R2定义：由于对一个曲面，过其中一点做一个切平面，平行切平面总有两个互相垂直的方向，对每一个方向都有一个曲率半径，所以总共有两个曲率半径。8：有一点电荷q位于某一