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第六章似稳场目录：习题6.5........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................1习题6.51试由导体内场的扩散方程及Ohm定律证明：处于交变场中的导体内的电流密度j�满足方程2μσ0jj∇−=i��证明：导体内的扩散方程2μσ0EE∇−=i��,Ohm定律：cjEσ=��将Ohm定律代入扩散方程，得:()()2//0ccjjσµσσ∇−=��̇即：2μσ0jj∇−=i��2一半径为a,电导率为σc，磁导率为μ的无限长金属圆柱体置于一半径b的无限长螺线管中，柱轴与管轴重合。当螺线管（其每单位长度上的匝数为n）通以电流0exp(ω)IIit=−时，求（1）空间中的电磁场分布；（2）导体中的电流分布；（3）导体单位长度上每单位时间放出的热量Q。解：（1）因为螺线管和金属圆柱体都是无限长的，圆柱体外，螺线管内的磁场是均匀的，以管轴为z轴的柱坐标系中00,ffHjHdldsjHnI∇×=⇒⋅=⋅⇒=∫∫�������所以0(ρ)HbaH=圆柱体内的磁场满足零阶Bessel方程2221()(ρ)0ρρρzddkHdd++=其中2cμσωki=解得000(ρ)(ρ)()JkHaHJka=,(ρ)0Hb=因此螺线管内的磁场分布(ρ)exp(ω)zHeHit=−��00000,ρ(ρ)(ρ),ρ(),ρbJkHHaJkaHab⎧⎪⎪=⎨⎪⎪≤≤⎩再利用公式Φ1δωμiHeE+=×���，其中2δωμσ=记Φ(ρ)exp(ω)EeEit=−��22010001002201000()ωμ(),ρσ()ρ2ρ(ρ)(ρ),ρσ()()ωμ(ρ),ρσ()ρ2ρcccHJkakaHibabJkaJkkEHaJkaHJkakaHiaabJka⎧+−⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+−≤≤⎪⎩（2）由Ohm定律σfcjE=��,在导电圆柱体内，即ρab≤≤导体内的电流分布,1Φ00(ρ)σexp(ω)()fcJkjEekHitJka==−���（3）在稳恒场中的焦耳定律2QIRt=，对于交变场也适用,则导体单位长度的电阻就是其电导率的倒数1σc，所以导体单位长度单位时间放出的热量2QIR=又有金属圆柱体中的电流σfIdj=⋅∫��，σfcjE=��，再将（2）中的电场E�的分布代入式中2[σ][σ(σ)]σσfcccdjdEQ⋅⋅==∫∫����222010π()Re()σ()canIkJkaJka=其中2cμσωki=3一半径为a,电导率为σc，磁导率为μ的无限长金属圆柱体置于一恒定的均匀外磁场0B�中，外磁场的方向与金属圆柱体的轴ze�平行。试求除去外磁场后金属圆柱体内的电磁场随时间变化的规律。解：因为金属圆柱体是无限长的，根据对称性，建立一金属圆柱体柱轴为z轴的柱坐标系。解：金属圆柱体内的磁场可写成(ρ,)(ρ,)exp(ω)zHteHtit=−��金属圆柱体内的磁场满足零阶Bessel方程21[(ρ)](ρ,)0ρρρddkHtdd+=而且金属圆柱体中的外磁场()00BtB==��上述的Bessel方程满足下列条件初始条件：00(ρ,)|μtBHt==��边界条件：ρ(ρ,)|0aHt==�解得()2(ρ,)(ρ)exp(/)zmmmmcmHteCJkktµσ=−∑��式中，mmxka=是0()0Jx=从小到大排列的第m个零点002μ()mmBCJka==又μBH=��所以除去外场后金属圆柱体内的磁感强度分布为()2m(ρ,)μC()exp(/)zmmmcmBteJkaktµσ=−∑��4．一半径为a，电导率为cσ，磁导率为µ的金属球置于一均匀的变化频率较低（即/caω）的磁场0exp()BBitω=−����中。求金属球内的Foucault电流分布与球的吸收功率（精确到一级近似）。解：因为()()0BMHµ∇=∇+=���ii，则0HM∇=−∇=��ii（金属球内和球外）因而可令球内外磁标势分别为1()mtϕ和2()mtϕ，同时令H′�和B′�是金属球内的磁场强度和磁感应强度，以0B�的方向为极轴z的方向建立球坐标系。磁标势在球坐标系中满足方程20mϕ∇=，当ra≠时与边界条件()10mrϕ==有限，()2cosmrHrϕθ→∞=−()()12mmraraϕϕ===，120mmrararrϕϕµµ==∂∂=∂∂（00()itBHteωµ−=��）取金属球外的磁标势2mϕ的试解为222coscos,mbHrrarϕθθ=−+球内试解为11cos,mbrraϕθ=≤球面上的边界条件化为212abHaba=−+，()31022bHbaµµ=−−对系数1b，2b，解之得01032bHµµµ=−+30202bHaµµµµ−=+所以金属球内的磁场强度000100003333cos2222mHHHrzHBµµµϕθµµµµµµµµ⎛⎞⎛⎞−′=−∇=−∇=∇==⎜⎟⎜⎟++++⎝⎠⎝⎠���032BHBµµµµ′′==+���由EBt∂∇×=−∂��和Ohm定律，可知1cjiBωσ′∇×=��即032cjiBµσωµµ∇×=+��故()032cxjixBµσωµµ×∇×=×+����而()()()()()3002xjjxjxjxjxjjIj−×∇×=∇−∇−×∇×−∇××=−−−=����������ii���i上面一步推导显然是错误的。所以金属球内的Foucault电流分布为0322cijxBµσωµµ=−×+���关于此电流分布满足BEt∂∇×=−∂��证明：()()0003/22322322ciEjxBiExBiExBBxxBBxωµσµµωµµµωµµµ==−×+⇒∇×=−∇××+⇒∇×=−∇⋅−∇⋅−⋅∇+⋅∇+����������������由似稳方程0B∇⋅=�，又B�与坐标无关，所以0B∇=�所以03222iEBωµµµ∇×=+��但是Hj∇×=��显然不满足又由焦耳定律21VcNjdυσ′=∫�，可知金属球内的瞬时吸收功率为()()()()222222220000222243200002225222522009sinsin429sin42986453252acacccNBrrdrddBrdrddBaBaππππωµσθθθϕµµωµσθθϕµµωµσππωµσµµµµ′=+=+==++∫∫∫∫∫∫所以金属球内的吸收功率为()()2225222502200635252ccBaBaNNπωµσπωµσµµµµ′===++5．一半径为a的各向同性的导体球置于一均匀的周期性变化的外磁场中。求该导体球的磁化率。解：由第4题结论0322cijxBµσωµµ=−×+���因为交变磁场中，导体的磁矩由导体内的传导电流产生，031()242cVVimxjdvxxBdvµσωµµ=×=−××+∫∫������又()()2()cosxxBBxxBxxBrBrxθ−××=−=−������������ii由x对称性和y的对称性知，积分结果只与z分量有关205222430003(cos)423338(cos)sin42424215czzVcccVVimeBrBrxedviiiaBrBrdvBrdrddBµσωθµµµσµσµσωωωπθθθϕµµµµµµ=−+=−==+++∫∫∫������ii����同样，可以计算得到ˆˆ0,0yxmeme⋅=⋅=��（体现在方位角ϕ）34/()3Mmaπ=��203,210czaiBeBµσωµµ=+���与同方向22220311/exp()21010552ccMaaaaiBHiiiHµσπκωωµσµµδδ⎛⎞⎛⎞′∴=====⎜⎟⎜⎟′+⎝⎠⎝⎠����6．在超导体中，电阻为零，电荷为e−，质量为m的传导电子的运动方程为mreE=−��̇̇。设单位体积中电子的数目为N。（1）证明（London第一方程）2sNejEm=��̇（2）若超导体可视为一各向同性的线性均匀介质，且其内部不存在稳恒场，证明（London第二方程）2sNejBm∇×=−��（3）若有一半无穷超导体，试证外场仅能透入数量级为：2/()LmNeλµ=的深处，这里，Lλ为London穿透深度，而µ是其磁导率。证明：（1）sjNeuNer=−=−���̇mreE=−��̇̇2()seENejNerNeEmm∴=−=−−=����̇̇̇（2）22ssjNeNeBjEttmmt∂∂∂∇×=∇×=∇×=−∂∂∂����由于2constantsNejBm∇×=−+��但是当导体内无没有任何电磁场时，可知该常数应为0故2sNejBm⇒∇×=−��（3）由麦克斯韦方程组第四式sHj∇×=��得sHj∇×∇×=∇×��（）即222)NeNeHHBHmmµ∇∇−∇=−=−����i（即22mHHNeµ∇=��设H�的方向与平面z=0平行，且H�方向沿x轴。Z0为超导体。由对称性知xH只是z的函数。满足扩散方程为222()()0xdNeHzdzmµ−=边界条件为0(0)xHH=()|0xzHz→∞→其解的形式为0()exp()xHzHpz=−代入扩散方程得22Nepmµ=即2Nepmµ=（根号前不能取负号否则与无穷远处边界条件矛盾）故有20()exp()xNeHzHzmµ=−令10()xHzHe−=得2mzNeµ=由London穿透深度Lλ的定义，可知2/LmNeλµ=（）