初中一元二次方程讲解

1/1623.1一元二次方程类型1、一元二次方程的概念解题要点：（1）若一个方程是一元二次方程，必须同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可。（2）有些方程需要先整理，再判断。（3）分母中含有未知数或根号下含有未知数的方程均不是一元二次方程。题型1、一元二次方程的判别例1．下列是一元二次方程的是（）A．322xxB．2152xxC．2)2)(1(xxxD．)1(2)1(2ttt例2．下列方程哪些是一元二次方程？指出它们的序号。（1）012x（2）21112xx；（3）012yx；（4）0123xx（5）46)53(22xxx（6）5)3)(2(xx题型2、利用一元二次方程的概念求字母的值。例3．方程013)2(||mxxmm是关于x的一元二次方程，则（）A．2mB．2mC．2mD．2m例4．关于x的方程2322mxxxmx是一元二次方程的条件是什么？题型3、利用一元二次方程的概念求不等式的解集例5．若0352xax是一元二次方程，且a满足不等式063a，则a的取值范围是（）A．2aB．2aC．2a且0aD．21a2/16类型2、一元二次方程的一般形式解题要点：（1）一元二次方程一般形式的特点是：方程左边是按未知数降幂排列的整式，右边是0，并且在通常情况下，左边各项系数不含有公约数。（2）先化为一般形式：02cbxax，后确定各项系数和常数项，一般形式中0a，b、c可以等于0。（3）在应用时，如果求各项系数，不要漏掉前面的符号。题型1、化方程为一元二次方程的一般形式例6．把方程2)23)(12(2yyy化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数，一次项系数、常数项。题型2、利用一元二次方程的隐含条件解题例7、a为何值时，关于x的方程04)3()3(1||xaxaa，(1)是一元一次方程？(2)是一元二次方程？例8、方程08)4(2||axxaa是一元二次方程，指出其二次项系数、一次项系数及常数项。例9、若一元二次方程0)32()8(22kxkx的二次项系数、一次项系数及常数项之和为5，求k的值。3/16类型3、一元二次方程的根（解）解题要点：（1）根必须满足两个条件：①未知数的值；②必须使方程左右两边相等。（2）用代入法验证一个数值是否为一元二次方程的解时，只要看方程左右两边是否相等即可。题型1、判断一元二次方程的根例10．下列哪些数是一元二次方程342xx的根？3，2，1，0，1，2，3，4题型2、由一元二次方程的根求未知数的值。例11、关于x的一元二次方程01)1(22axxa的一个根是0，求a的值。例12、已知2x，6x是关于x的一元二次方程02baxx的根，求a和b的值。题型3、由一元二次方程的根求代数式的值。例13、已知1x是一元二次方程0402bxax的一个根，且ba，求baba2222的值。例14、已知a是方程0120102xx的一个根，试求12010200922aaa的值。4/16题型4、已知两方程有公共根，求代数式的值。例15、已知关于x的方程02qpxx与)(02qppqxx有一个公共根，求2009)(qp的值。类型4、列一元二次方程解题要点：一元二次方程一般源于实际生活中的问题，解决问题的关键是先列出一元二次方程，列方程时需注意的两个方面：（1）设一个未知数x，由其他未知量与这个未知数的关系，用x表示其他量。（2）寻找以上各量间的等量关系，一般为积的关系或平方差与平方和的关系，根据此关系列出一元二次方程。例16、已知一个长方体粉笔盒的体积为750cm3，高为6cm，底面的长比宽多5cm，若设这个粉笔盒的底面的宽为xcm，请根据题意列出方程，并将其他为一般形式。例17．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次与前一次的比值为k(10k)，已知一个钉子受击三次后恰好全部进入木板（铁钉在第二次受击后未入木板的部分足够长），且第一次受击后进入木板的钉长度是钉长的74，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的方程是（）A．17474742kkB．17474kC．174742kkD．17874k5/1623.2一元二次方程的解法类型5、直接开平方法解题要点：（1）用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义。（2）对于形如)0(2ppx的一元二次方程，常用直接开平方法求解，方程的根是px，当0p时，021xx。（3）对于形如)0,0()(2pmpnmx的一元二次方程，也可以用直接开平方法求解，方程的根为mpnx，当0p时，mnxx21。（4）解题时，一定要注意方程有两个根。题型1、用直接开平方法解一元二次方程的必备条件例18、用直接开平方法解方程bcxa2)(，方程有根的条件是（）A．0aB．0bC．0,0baD．a、b同号或0a，题型2、用直接开平方法解一元二次方程例19、求一元二次方程0)3(2x的根。例20、求一元二次方程22)3()12(xx的根。类型6、因式分解法解题要点：（1）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤可归纳为“右边化零，左边分解，分别为零，求解”。（2）因式分解的常用方法：公式法（完全平方公式、平方差公式）、提公因式法等，需注意一般方程的左边是因式的积，右边等于0。（3）不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解。题型1、用因式分解法解形如)0(02abxax的一元二次方程。例21、用因式分解法解下列方程：（1）5552xx（2）)2(2)2(32xx题型2、用因式分解法解形如0)(2abxbax（a、b为常数）的一元二次方程。例22、用因式分解法解下列方程。（1）01662xx；（2）06)32(2xx6/16题型3、用因式分解法解形如)0(02acbxax的一元二次方程。例23、用因式分解法解下列方程：（1）01562xx；（2）061362xx；题型4、因式分解法在解一元二次方程中的综合应用例24、当x为何值时，代数式222222xxx的值等于0。例25、已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程01072xx的根，求△ABC的周长。类型7、配方法解题要点：（1）配方法解一元二次方程是以完全平方公式222)(2bababa和直接开平方法解一元二次为依据。（2）配方法的关键是配方，把一个一元二次方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数。（3）配方法的一般步骤可以归纳为“一除、二移、三配、四开方”。题型1、用配方法解形如)04(022cbcbxx的一元二次方程例26、用配方法解下列方程（1）0142xx（2）0752xx题型2、用配方法解形如)04,0(022cbacbxax的一元二次方程例27、用配方法解下列方程：（1）08432xx；（2）04722xx；（3）07542xx类型8、公式法解题要点：（1）一元二次方程)0(02acbxax的求根公式为)04(2422acbaacbbx。（2）一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程)0(02acbxax的过程。（3）由求根公式知，一元二次方程的根是由系数a、b、c决定的，只要确定了a、b、c的值就可以代7/16入求根公式求出一元二次方程的根。题型1、用公式法解系数为整数的一元二次方程。例28、方程242xx的正根为（）A．63B．62C．63D．62例29、用公式法解方程：xxx8101442题型2、用公式法解系数为分数或小数的一元二次方程例30、用公式法解下列方程：（1）3132212xx；（2）01.03.02.02xx；题型3、用公式法解一元二次方程的综合应用例31、已知关于x的方程0122kxx的一个根与方程4112xx的根相同。（1）求k的值；（2）求方程0122kxx的另一个根。类型9、根的判别式解题要点（1）在用根的判别式判别根的情况时，是在一元二次方程的一般形式下进行的，即先将方程化为)0(02acbxax的形式，再确定根的判别式与0的大小关系。（2）当042acb时，方程有两个不相等的实数根aacbbx2421，aacbbx2422，当042acb时，方程有两个相等的实数根abxx221；当042acb时，方程没有实数根。（3）通过计算根的判别式的值，可以在不解方程的情况下判断方程的根的情况。（4）由方程的根情况可以得知根的判别式的情况，进而得出方程中未知字母的取值情况。题型1、由根的判别式来确定根的情况例32、不解方程，判断下列关于x的一元二次方程的根的情况。（1）xx54542；（2）0)1(422mmxx；（3）832xx8/16题型2、由根的情况来确定方程中的待定系数。例33、已知方程0)12(22kxkx有两个不相等的实根，那么k的最大整数值是（）A．2B．1C．0D．1例34．当m取何值时，一元二次方程012)14(222mxmx（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根。题型3、根的判别式与三角形的综合应用例35、已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程0)(2)(2bacxxba的根的情况是（）A．没有实根B．可能有且仅有一个实根C．有两个相等的实根D．有两个不相等的实根例36．已知a、b、c是△ABC的三边，且方程0))(())(())((axcxcxbxbxax有两个相等的实根，试判断△ABC的形状。类型10、选择合适的方法解一元二次方程解题要点：（1）解一元二次方程的基本思路；将二次方程通过“降次”化为一次方程。（2）解一元二次方程的方法口诀：方程没有一次项，直接开方最理想；如果缺少常数项，因式分解没商量；b、c相等都为零，等根是零不要忘；b、c同时不为零，因题而异择良方。（3）在用多种方法都可以解一元二次方程且没有特殊规定方法时，首先考虑的方法是直接开平方法和因式分解法，其次再考虑配方法和求根公式法。例37．用适当的方法解下列方程：（1）25)16(2x；（2）)7(8)7(xxx；（3）xx12142；（4）；81222xx例38、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法，请选择你认为适当的方法解下列方程：（1）0132xx；（2）3)1(2x；（3）052xx；（4）422xx类型11、一元二次方程的实际应用例39、金鑫商店1月份的利润是2500元，3月份的利润为3000元，这两个月的利润平均月增长率是多少？（精确到0.1%）例40、明月兔业养殖厂在兔舍外面开辟了一个面积为20m2的长方形活动场地，准备一边靠墙，其余三边利用长14m的旧围栏，已知墙面长6m，问：围成长方形的长和宽各是多少？9/1623.3实践与探索类型12、一元二次方程与生活实践解题要点：（1）用一元二次方程解决实际问题的一般步骤可归纳为“审、设、列、解、验、答”。（2）在解决实际问题时有几个重要环节：①完整、准确地审清题意；②提取问题中的等量关系；③正确地求解方程并检验解的合理性。题型1、平均增长率（降低率）问题例41、义乌市是一个“车轮上的城市”，截止2007年底全市汽车拥有量为114508辆，已知2005年底全市汽车拥有量为72983辆，请解答如下问题：（1）2005年底至2007年底义乌市汽车