第三章初等几何变换

每种几何都是由变换群所刻划，并且每种几何所要做的实际就是在这个变换群下考虑其不变量与不变性。——爱尔朗根纲领（1872年克莱茵）用变换群作出几何学分类，凡存在一种几何变换群，就构成一种相应的几何学。射影几何仿射几何欧氏几何拓扑几何射影变换群下的不变性与不变量仿射变换群下的不变性与不变量合同变换群下的不变性与不变量拓扑变换群下的不变性与不变量几何变换：将几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程研究几何变换的主要问题：讨论各种几何变换下的不变性与不变量应用于几何证明问题不变量：已知图形在某一变换下变成另一图形，有些表示图形特征的数量在这个变换下不变，这个数量叫做已知变换的不变量。不变性：已知图形在某一变换下变成另一图形，有些表示图形的特性在这个变换下不变，这些性质叫做已知变换的不变性。预备知识1.映射2.一一映射3.变换（点变换、恒等变换、逆变换、相等变换、变换的乘积）4.群（变换群）群一个非空集合，给定一个运算法则，且满足下列条件，则集合G叫做一个群：（1）对于，必有，使得（2）对于，（3）存在使得（4）对于必有cbaG,,Gba,GcGba,cab)(bcacabGeaeaGaGaeaaGa11变换群：集合M的若干个一一变换关于乘法构成的群，称为集合M的一个变换群。判断集合M的自身的一一变换的集合G是否为集合M的变换群，只要证明两点：（1）属于集合G的变换（2）属于集合G的变换的逆变换Ggfgf,fGf1合同变换及其应用定义：平面点集到自身的映射，若对于该平面上任意两点和它的象之间，恒有，则称此变换为合同变换fBA,BA,ABBA——合同变换保持两点之间的距离不变定理1：合同变换是一一变换。定理2：平面上的全体合同变换组成变换群。定理3：在合同变换下直线变直线（线段、射线、角、圆变线段、射线、角、圆）定理4：在合同变换下，对应线段相等，对应角相等，对应三角形全等，三角形面积相等。定理5：合同变换下，直线的平行性和正交性不变。定理6：平面上的合同变换由不共线的三双对应点确定。在合同变换下两点之间的距离，两直线的夹角的大小是基本不变量。同素性、结合性、直线上点的顺序性、两直线平行性与正交性都是不变性。合同变换的类型平移变换旋转变换直线反射变换（对称变换）（一）平移变换1.定义：设给定平面点集上的变换对且①射线定向（有给定的方向）②线段定长则称为上的平移变换fppfP)(,ppppf2.性质（1）在变换下，任两点的距离保持不变。)(VT（2）在平移变换下，任两对应直线平行。（3）平移变换为合同变换，具有合同变换的所有性质（同素性、结合性、顺序性、平行性、正交性、对应线段、三角形合同）3.利用平移变换解决几何问题例1.已知P为平行四边形ABCD内一点，试证以PA，PB，PC，PD为边可构成一个凸四边形，其面积恰为平行四边形ABCD面积的一半。ABDC●P分析：若能构造满足条件的凸四边形即可PA，PB，PC，PD从同一点出发的四线段变为首尾相连的凸四边形而不改变大小。P例2.P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB，求证：∠PBA=∠PDAABDC●P分析：因P是任意一点，通过角之间的化解不易证明，故设法将其集中于同一个三角形1234P5678例3.是△ABC的垂心，求证I222222ABCIACBIBCAIPA分析：联想到直角三角形PABCI例4.321321321321.,,,,,,,,,,IIIOOOACBBACCBAIIIOOOABCABCABCCBA求证：的外心和内心分别为的中点，的边分别为图形F图形F′返回性质′性质位置集中，条件化显T(V)的性质T(V)位置分散，条件隐藏（二）旋转变换1.定义：设给定平面点集上的变换其使某一点变为自身，对且①②则称为绕中心按已知方向旋转角的旋转变换ffoxxfx)(,xooxxxoo定义2：若把一个图形绕定点按一定的方向旋转一个角度（旋转角），得到另一个图形，则称是由经旋转变换得到。o1F2F2F1F记作：2),(1FFOR2.性质（1）旋转变换满足合同变换的一切性质在合同变换下，任两点距离不变，线段中点不变（2）旋转变换下任两对应直线的夹角大小不变，都等于其旋转角。定义：旋转角为的旋转变换称为中心对称变换。180性质：（1）在中心对称下，过对称中心的直线变为自身（2）若两条直线关于某点成中心对称，则它们平行（3）若两直线平行，那么它们是中心对称变换下的两条直线3.利用旋转变换进行几何证明例1.利用旋转变换证明勾股定理。DBCAA1D1C1B1abcabc例2.在直角三角形中，为斜边的中点，过引互相垂直的两线交于则ABCMABMBCAC,QP,222PQBQPAABC●PQMQ例3.在中，，为其内任意点，试证ABC120APPACABPCPBPAABC●PB图形F图形F′返回性质′性质位置集中，条件化显R(O,Q)的性质R(O,Q)位置分散，条件隐藏例4.为等腰三角形，为斜边上任一点，求证：ABC90AACABD2222ADDCBDABC●DD′例5.圆交的边于，过引的垂线交于一点，求证：过所引的垂线也交于一点。oABCABCABC,,212121,,,,,CCBBAA111,,CBAABCABC,,222,,CBAABCABC,,ABCA1A2B1B2C1C2PP′（三）直线反射变换1.定义：:若直线垂直于连接和的线段，并经过这条线段的中点，则说和关于直线反射或对称。PPPPgg1def：如果一个平面点集到自身的变换，把平面上的每一个点变换到它关于直线的对称点，这个变换叫做直线反射变换或对称变换。1def2defg2.性质（1）在直线反射变换下，两点之间的距离不变。（2）直线反射变换下，角的大小不变，但方向相反。补充知识对于同一平面上的两个和如果沿周界ABCA的方向有正向（逆时针方向）或负向（顺时针）分别称为不同的定向。ABCCBAdefCABABCABC第一类合同变换——真正合同图形第二类合同变换——镜像合同图形轴对称图形的严格定义：一个图形上任一点关于它上面的某一条（或几条）直线反射的象都在这个图形上，则称此图形为轴对称图形。3.利用反射变换进行几何证明例1.已知为半圆弧，为该圆上任意两点，为之交点，求证：FCBFADCDABBDACADEFBDACECBABCD,,ABCDCB,EBDAC,ADEFFCBFADCDABBDACADBCEFB′例2.在中，，为三角形内一点求的度数。ABCACAB20,10,80OCBOBCAoCAOABC●OO′例3.在中，是平分线求证：ABC90BADACDBCADAB2::22ABCDB′EF