公开课：直线的参数方程

预备知识：1.向量共线的条件abaab)0(//2.直线l的方向向量是指：与直线l平行的非零向量经过点M(x0,y0),倾斜角为的直线l的普通方程是________________________;)(tan00xxyy如何建立直线l的参数方程呢？e),(),(),(00000yyxxyxyxMM)sin,(coseyx0),(000yxMl),(yxM经过点M(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程：)(sincos00为参数ttyytxx参数t的几何意义是什么？||||0MMteyx0),(000yxMl),(yxM重合与则点若方向向下则若方向向上则若000,0,0,0MMtMMtMMt21211ttMM）（2221ttt）（3.弦长公式：弦的中点：)(231211是参数ttytx)(311是参数ttytx若直线的参数方程为：(t为参数)00xxatyybt则直线经过点M0(x0,y0),斜率为bka220||||MMtab1.直线参数方程2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,简化求直线上两点间的距离.0cos(sinttyyt0x=x是参数）探究:直线的参数方程形式是不是唯一的|t|=|M0M|00(xxattyybt为参数）221abt当时，才具有此几何意义其它情况不能用。12232233--3322xttyt(2)若直线的参数方程为为参数，则直线的斜率为（）A、B、C、D、D(1)1111111,2222xatybttabtttt(3)若直线L的参数方程为为参数，L上的点P对应的参数是t，则点P与P之间的距离是（）A、B、C、D、C(2)例1.设直线l过点A(2,-4),倾斜角为(1)求l的参数方程；(2)设直线l与直线x-y+1=0交于点B，求线段AB的长.65yx0),(000yxMl),(yxM||tOyxBAl01yx||t直线上的点M与参数t的值是一一对应的弦长|AB|=中点P|tt|21例2：已知直线与抛物线交于A,B两点，点M(-1,2)在直线AB上，（1）求线段AB的长；（2）求点M(-1,2)到A,B两点的距离之积；（3）求AB的中点P的坐标。01:yxl2xy221ttt练习：求直线被双曲线x2-y2=1截得的弦长|AB|.)(23212为参数ttytx例3.经过点M(2,1)作直线l,交椭圆141622yx于A，B两点，如果点M恰好为线段AB的中点，求直线l的方程.练习：已知经过点P(2,0)，斜率为的直线和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标.34弦的中点对应的参数为2tt2121.:10lxyyx例已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。分析:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去解;2.分别如何解.例1ABM(-1,2)xyO(*)010122xxxyyx得：解：由112121xxxx，由韦达定理得：10524)(1212212xxxxkAB251251(*)21xx，解得：由25325321yy，)253,251()253,251(BA，坐标记直线与抛物线的交点2222)2532()2511()2532()2511(MBMA则245353①①1l（）如何写出直线的参数方程？122?ABtt（）如何求出交点，所对应的参数，123ABMAMBtt（）、与，有什么关系？22.2,11,164xyABMABL例2经过点M作直线L,交椭圆于两点。如果点恰好为线段的中点，求直线的方程。2,12cos1sin,MLxttyt解：设过点的直线的参数方程为为参数代入椭圆方程为22123sin14cos2sin80,.ttAMtMBtM则在椭圆内所以122124cos2sin3sin110,cos2sin0,tan22122402ttMttklxxy因为为AB的中点所以直线的方程是：y-1=即ABlOxy思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线的方程怎样求？思考：例2还有别的解方法吗？ABlOxy的参数方程为的直线解：设过点lM)1,2(代入椭圆方程得为参数)(sin1cos2{ttytx08)sin2(cos4)1sin3(22tt12,,MAtMBt由t的几何意义知因为点有两个实根，所以在椭圆内，这个方程必M1sin3)sin2(cos4221tt1sin38221tt）得（平方2)1(的三等分点，为线段因为点ABM的方程为，因此直线lk32tan)2(321xy212tt)1(1sin3)sin2(cos42221ttt)2(21sin3822221ttt例3例41.经过点M(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程：)(sincos00为参数ttyytxx2.参数t的几何意义:||||0MMt3.直线上的点M与参数t的值是一一对应的.重合与则点若方向向下则若方向向上则若000,0,0,0MMtMMtMMt若直线l:)(sincos00为参数ttyytxx与曲线y=f(x)交于M1,M2两点，对应的参数分别为t1,t2,(1)曲线的弦M1M2的长是(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值是4.直线参数方程可解决弦长，中点等问题.|tt|212tt21方程)(235为参数ttytx是直线参数方程吗？它和我们今天所学的直线参数方程有何不同？