搜索
栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关专题讲座三不等式恒成立问题栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关不等式恒成立问题常常在知识网络交汇点处设置，它可以与主干知识如函数、导数、数列、三角函数、解析几何等整合在一起，里面又可以涉及到不等式证明问题和参数取值范围问题，渗透着化归、数形结合等重要数学思想，有效地检测中学生对中学数学知识中蕴涵的数学思想和方法的掌握程度,考查了综合、灵活运用知识的能力．所以，高考将其作为考查学生分析、解决问题的能力和创新意识的重要题型，往往出现在压轴题中，会让很多学生望而却步.“含参数不等式的恒成立”的问题，是最近几年高考的热点，含参数不等式恒成立问题常运用等价转化的数学思想，根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关判别式法若不等式(m－1)x2＋(m－1)x＋20的解集是R，求m的取值范围．【解】(1)当m－1＝0时，一元不等式化为20恒成立，满足题意；(2)m－1≠0时，只需m－10Δ＝（m－1）2－8（m－1）0，解得，1m9，综上，m的取值范围是[1，9)．栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关对于有关二次不等式ax2＋bx＋c0(或0)的问题，可设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决．(1)f(x)0在x∈R上恒成立⇔a0且Δ0；(2)f(x)0在x∈R上恒成立⇔a0且Δ0.栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关已知两个函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x,其中k为实数，(1)若对任意的x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；(2)若对任意的x1、x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围．最值法栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关【解】(1)令F(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k.问题转化为F(x)≥0在x∈[－3，3]时恒成立，故解[F(x)]min≥0即可．∵F′(x)＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)，故由F′(x)＝0，得x＝2或x＝－1.∵F(－3)＝k－45，F(3)＝k－9，F(－1)＝k＋7，F(2)＝k－20，∴[F(x)]min＝k－45，由k－45≥0，解得k≥45，故实数k的取值范围是[45，＋∞)．栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关(2)由题意可知当x∈[－3，3]时，都有[f(x)]max≤[g(x)]min.由f′(x)＝16x＋16＝0，得x＝－1.∵f(－3)＝24－k，f(－1)＝－8－k，f(3)＝120－k，∴[f(x)]max＝－k＋120.由g′(x)＝6x2＋10x＋4＝0，得x＝－1或x＝－23.∵g(－3)＝－21，g(3)＝111，g(－1)＝－1，g－23＝－2827，∴[g(x)]min＝－21.则120－k≤－21，解得k≥141.∴实数k的取值范围是[141，＋∞)．栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关将恒成立问题转化为求函数的最值问题来处理，一般有下面两种类型：(1)若所给函数能直接求出最值，则有：①f(x)0恒成立⇔[f(x)]min0；②f(x)≤0恒成立⇔[f(x)]max≤0.(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围，则有(下面的a为参数)：①f(x)g(a)恒成立⇔g(a)[f(x)]max；②f(x)g(a)恒成立⇔g(a)[f(x)]min.栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关已知定义在R上的函数f(x)为奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，对于任意x∈R，求实数m的取值范围，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)0恒成立．分离变量法栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关【解】∵f(x)在R上为奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．又∵f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)0，∴f(cos2θ－3)－f(4m－2mcosθ)＝f(2mcosθ－4m)，∴cos2θ－32mcosθ－4m，即2m(2－cosθ)3－cos2θ，∵2－cosθ∈[1，3]，∴2m3－cos2θ2－cosθ＝4－2cos2θ2－cosθ，∴m2－cos2θ2－cosθ.栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关令2－cosθ＝t，t∈[1，3]，∴m4－t＋2t，即4－mt＋2t在t∈[1，3]上恒成立．即求g(t)＝t＋2t在t∈[1，3]上的最小值．∵g(t)＝t＋2t≥22等号成立条件t＝2t，即t＝2∈[1，3]成立．∴g(t)min＝22，∴4－m22，即m4－22.∴m的取值范围为(4－22，＋∞)．栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题化为求主元函数的最值范围．这种方法本质还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强．栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关数形结合法若不等式x2logax对任意x∈(0，12)恒成立，求实数a的取值范围．栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关【解】设y1＝x2(0x12)，y2＝logax.如图，在同一坐标系内分别作出它们的图象，由图可得0a1loga12≥14＝logaa14，解得116≤a1，∴实数a的取值范围为[116，1)．栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关数形结合法是解不等式恒成立问题的一种非常直观的方法，其解题原理是：f(x)g(x)恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象下方，此方法特别适用于解不等式两边是不同类型的不等式恒成立题型．栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关求证：对任意x，y∈R，不等式x2＋xy＋y2≥3(x＋y－1)总成立．分析法【证明】要证原不等式成立，只要证x2＋(y－3)x＋y2－3y＋3≥0对任意x，y∈R均成立．只要证Δ＝(y－3)2－4(y2－3y＋3)≤0对任意y∈R均成立．由于Δ＝(y－3)2－4(y2－3y＋3)＝－3y2＋6y－3＝－3(y－1)2≤0，所以要证的不等式成立．栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关用学过的综合法难以下手，我们就可转化一个角度，即寻找使这个不等式成立的充分条件，即用分析法证明．栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关栏目导引专题讲座三不等式恒成立问题专题探究突破热点强化训练知能通关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放