北京市西城区2015年初三二模试卷数学2015.6一、选择题(本题共30分,每小题3分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.1.2015年羊年除夕夜的10点半,在央视春晚送红包的活动中,微信“摇一摇”峰值的摇动次数达到8.1亿次/分钟,送出微信红包120000000个.将120000000用科学记数法表示应为()A.90.1210B.71.210C.81.210D.712102.如图,BD∥AC,AD与BC交于点E,如果∠BCA=50°,∠D=30°,那么∠DEC等于()A.75°B.80°C.100°D.120°3.64的立方根是()A.8B.4C.8D.44.函数2yx中,自变量x的取值范围是()A.2xB.x≥2C.x>2D.x≥25.如图,△ABC中,D,E两点分别在AB,AC边上,且DE∥BC,如果23ADAB,AC=6,那么AE的长为()A.3B.4C.9D.126.某居民小区开展节约用电活动,该小区100户家庭4月份的节电情况如下表所示.节电量(千瓦时)20304050户数(户)20303020那么4月份这100户家庭的节电量(单位:千瓦时)的平均数是()A.35B.26C.25D.207.若一个正六边形的半径为2,则它的边心距等于()A.2B.1C.3D.238.如图,△ABC的边AC与⊙O相交于C,D两点,且经过圆心O,边AB与⊙O相切,切点为B.如果∠A=34°,那么∠C等于()A.28°B.33°C.34°D.56°9.如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中,O是原点,若点A的坐标为(1,3),则点C的坐标为()A.(3,1)B.(1,3)C.(3,1)D.(3,1)10.在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(,1)m.如果以原点为圆心,半径为1的⊙O上存在点N,使得45OMN,那么m的取值范围是()A.1≤m≤1B.1<m<1C.0≤m≤1D.0<m<1二、填空题(本题共18分,每小题3分)11.若2(2)10mn则mn.12.若一个凸n边形的内角和为1080,则边数n=.13.两千多年前,我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验.他的做法是,在一间黑暗的屋子里,一面墙上开一个小孔,小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像.小华在学习了小孔成像的原理后,利用如下装置来验证小孔成像的现象.已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm,光屏在距小孔30cm处,小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm,则光屏上火焰所成像的高度为______cm.14.请写出一个图象的对称轴是直线1x,且经过(0,1)点的二次函数的表达式:_____________.15.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线3yx与双曲线nyx(n≠0)在第一象限的公共点是(1,)Pm.小明说:“从图象上可以看出,满足3nxx的x的取值范围是1x.”你同意他的观点吗?答:.理由是.16.如图,在平面直角坐标系xOy中,点D为直线2yx上且在第一象限内的任意一点,1DA⊥x轴于点1A,以1DA为边在1DA的右侧作正方形111ABCD;直线1OC与边1DA交于点2A,以2DA为边在2DA的右侧作正方形222ABCD;直线2OC与边1DA交于点3A,以3DA为边在3DA的右侧作正方形333ABCD,……,按这种方式进行下去,则直线1OC对应的函数表达式为,直线3OC对应的函数表达式为.三、解答题(本题共30分,每小题5分)17.如图,△ABC是等边三角形,D,E两点分别在AB,BC的延长线上,BD=CE,连接AE,CD.求证:∠E=∠D.18.计算:1012cos30()13(3)3.19.已知2540xx,求代数式(2)(2)(21)(2)xxxx的值.20.解方程:231233xxxx.21.列方程(组)解应用题:某超市的部分商品账目记录显示内容如下:商品时间第一天第二天第三天牙膏(盒)714?牙刷(支)131512营业额(元)121187124求第三天卖出牙膏多少盒.22.已知关于x的函数2(3)3ymxmx.(1)求证:无论m取何实数,此函数的图象与x轴总有公共点;(2)当m>0时,如果此函数的图象与x轴公共点的横坐标为整数,求正整数m的值.四、解答题(本题共20分,每小题5分)23.如图,将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与点A重合,点D的落点记为点D′,折痕为EF,连接CF.(1)求证:四边形AFCE是菱形;(2)若∠B=45°,∠FCE=60°,AB=62,求线段D′F的长.24.1949年以来,北京市人口结构变迁经历了5个阶段,从2001年至今已进入第五个阶段——人口膨胀增长阶段.以下是根据北京市统计局2015年1月的相关数据制作的统计图.根据以上信息解决下列问题:(1)以下说法中,正确的是(请填写所有正确说法的序号)①从2011年至2014年,全市常住人口数在逐年下降;②2010年末全市常住人口数达到近年来的最高值;③2014年末全市常住人口比2013年末增加36.8万人;④从2011年到2014年全市常住人口的年增长率连续递减.(2)补全“2014年末北京市常住人口分布图”,并回答:2014年末朝阳、丰台、石景山、海淀四区的常住人口总数已经达到多少万人?(3)水资源缺乏制约着北京市的人口承载能力,为控制人口过快增长,到2015年底,北京市要将全市常住人口数控制在2180万以内(即不超过2180万).为实现这一目标,2015年的全市常住人口的年增长率应不超过.(精确到0.1%)25.如图1,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点F在线段ED上.连接AF并延长交⊙O于点G,在CD的延长线上取一点P,使PF=PG.(1)依题意补全图形,判断PG与⊙O的位置关系,并证明你的结论;(2)如图2,当E为半径OA的中点,DG∥AB,且=23OA时,求PG的长.26.(1)小明遇到下面一道题:如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90º,∠ACB=30º,BE⊥AC于点E,且=CDEACB.如果AB=1,求CD边的长.小明在解题过程中发现,图1中,△CDE与△相似,CD的长度等于,线段CD与线段的长度相等;他进一步思考:如果ACB(是锐角),其他条件不变,那么CD的长度可以表示为CD=;(用含的式子表示)(2)受以上解答过程的启发,小明设计了如下的画图题:在Rt△OMN中,∠MON=90º,OM<ON,OQ⊥MN于点Q,直线l经过点M,且l∥ON.请在直线l上找出点P的位置,使得NPQONM.请写出你的画图步骤,并在答题卡上完成相应的画图过程.(画出一个即可,保留画图痕迹,不要求证明)五、解答题(本题共22分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)27.已知一次函数1ykxb(k≠0)的图象经过(2,0),(4,1)两点,二次函数2224yxax(其中a>2).(1)求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标(用含a的代数式表示);(2)利用函数图象解决下列问题:①若25a,求当10y且2y≤0时,自变量x的取值范围;②如果满足10y且2y≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数,直接写出a的取值范围.8.正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在射线DC,DA上运动,且DE=DF.连接BF,作EH⊥BF所在直线于点H,连接CH.(1)如图1,若点E是DC的中点,CH与AB之间的数量关系是;(2)如图2,当点E在DC边上且不是DC的中点时,(1)中的结论是否成立?若成立给出证明;若不成立,说明理由;(3)如图3,当点E,F分别在射线DC,DA上运动时,连接DH,过点D作直线DH的垂线,交直线BF于点K,连接CK,请直接写出线段CK长的最大值.29.对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出如下定义:在图形G上若存在两点M,N,使△PMN为正三角形,则称图形G为点P的τ型线,点P为图形G的τ型点,△PMN为图形G关于点P的τ型三角形.(1)如图1,已知点(0,3)A,(3,0)B,以原点O为圆心的⊙O的半径为1.在A,B两点中,⊙O的τ型点是____,画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形;(画出一个即可)(2)如图2,已知点(0,2)E,点(,0)Fm(其中m>0).若线段EF为原点O的τ型线,且线段EF关于原点O的τ型三角形的面积为439,求m的值;(3)若(0,2)H是抛物线2yxn的τ型点,直接写出n的取值范围.北京市西城区2015年初三二模数学试卷参考答案及评分标准2015.6一、选择题(本题共30分,每小题3分)题号12345678910答案CBDBBACACA二、填空题(本题共18分,每小题3分)111213141516383221yxx(答案不唯一)不同意x的取值范围是10x或1x(或其他正确结论)23yx1415yx三、解答题(本题共30分,每小题5分)17.证明:如图1.∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠ACB=∠ABC=60°.………………………………………………1分∵D,E两点分别在AB,BC的延长线上,∴∠ACE=∠CBD=120°.…………………2分在△ACE和△CBD中,,,ACCBACECBDCEBD,=………………………3分∴△ACE≌△CBD.………………………4分∴∠E=∠D.……………………………………………………………………5分18.解:1012cos30()13(3)33233112………………………………………………………………4分231.…………………………………………………………………………5分19.解:(2)(2)(21)(2)xxxx=224(252)xxx………………………………………………………………2分=224252xxx=256xx.………………………………………………………………………3分图1∵2540xx,∴254xx.……………………………………………………………………4分∴原式=2(5)64610xx.……………………………………………5分20.解:去分母,得3(3)2xx.……………………………………………………1分去括号,得332xx.………………………………………………………2分整理,得21x.………………………………………………………………3分解得12x.……………………………………………………………………4分经检验,12x是原方程的解.…………………………………………………5分所以原方程的解是12x.21.解:设牙膏每盒x元,牙刷每支y元.…………………………………………………1分由题意,得713121,1415187.xyxy……………………………………………………2分解得85.xy,………………………………………………………………………3分(124125)88(盒).…………………………………………………………4分答:第三天卖出牙膏8盒.………………………………………………………………5分22.解:(1)当m=0时,该函数为一次函数33yx,它的图象与x轴有公共点.………………………………………………………………1分当m≠0时,二次函数2(3)3ymxmx.2(3)4(3)mm26912mmm2269(3)mmm.∵无论m取何实数,总有2(3)m≥0,即≥0,∴方程2(3)30mxmx有两个实数根.∴此时函数2(3)3ymxmx的图象与x轴有公共点.……………2分综上所述,无论m取何实数,该函数的图象与x轴总有公共点.(2)∵m>0,∴该函数为二次函数,它的图象与x轴的公共点的横坐标为(3)(3)2mmxm