2018年北京市高考数学(理)试题含答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合2Axx，2,0,1,2Bx，则ABI（A）01，（B）-101，，（C）-201，，（D）-1012，，，2.在复平面内，复数i1i的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）．A．12B．56C．76D．7124．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）．A．32fB．322fC．1252fD．1272f5．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）．A．1B．2C．3D．46.设ab,均为单位向量，则“33abab”是“ab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，记d为点Pcos,sin到直线20xmy的距离.当,m变化时，d的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）48.设集合,|1,4,2Axyxyaxyxay，则A对任意实数a，2,1AB对任意实数a，2,1AC当且仅当0a时，2,1AD当且仅当32a时，2,1A二.填空（9）设na是等差数列，且13a，2536aa，则na的通项公式为。（10）在极坐标系中，直线cossin(0)aa与圆2cos相切，则a。（11）设函数cos6fxx0。若4fxf对任意的实数x都成立，则的最小值为。（12）若,xy满足12xyx，则2yx的最小值是。（13）能说明“若0fxf对任意的0,2x都成立，则fx在0,2上是增函数”为假命题的一个函数是。（14）已知椭圆2222:10xyMabab，双曲线2222:1xyNmn。若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为。三．解答题（15）（本小题13分）在ABC中，a7，8b，1cos7B。（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求AC边上的高。（16）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC,D,E,F,G分别为1AA,AC,11AC,1BB的中点，5ABBC,12ACAA.（I）求证：AC平面BEF;（II）求二面角1BCDC的余弦值；（III）证明：直线FG与平面BCD相交.（16）（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k”表示第k类电影得到人们喜欢，“0k”表示第k类电影没有得到人们喜欢（1,2,3,4,5,6k）.写出方差561234,,,,,DDDDDD的大小关系（18）（本小题13分）设函数24143exfxaxaxa，（1）若曲线yfx在点1,1f处的切线方程与x轴平行，求a；（2）若fx在2x处取得极小值，求a的取值范围．（19）（本小题14分）已知抛物线2:2Cypx经过点1,2P．过点0,1Q的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值．20.（本小题14分）设n为正整数，集合12|,,...,,0,1,1,2,...,nkAttttkn.对于集合A中的任意元素12,,...,nxxx和12,,...,nyyy，记111122221,...2nnnnMxyxyxyxyxyxyI当3n时，若1,1,0,0,1,1，求,M和,M的值；II当4n时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素,，当,相同时，,M是奇数；当,不同时，,M是偶数.求集合B中元素个数的最大值；III给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素,，,0M.写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.答案：一.选择题1.【答案】A2.【答案】D11i1i11i1i(1i)(1i)222z，则1i22z，故11i的共轭复数在第四象限，故选D3.【答案】B【解析】根据程序框图可知，开始1k，1s，执行11111112s，2k，此时3k不成立，循环，211512126s，3k，此时3k成立，结束，输出56s．故选B．4.【答案】D【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以f为首项，122为公比的等比数列，故第八个单音的频率为811271222ff．故选D．5.【答案】C【解析】由三视图可知，此四棱锥的直观图如图所示，在正方体中，PAD△,PCD△,PAB△均为直角三角形，3PB,5BC,22PC，故PBC△不是直角三角形．故选C．6.【答案】C【解析】充分性：|3||3|abab，2222||69||9||6||aabbaabb，又||||1ab，可得0ab，故ab.必要性：ab，故0ab，所以2222||69||9||6||aabbaabb，所以|3||3|abab．7.【答案】C【解析】：Pcos,sin，所以P点的轨迹是圆。直线20xmy恒过0,2点。转化为圆心到直线的距离加上半径取到最大值，所以答案为3.8.【答案】：D【解析】：若2,1A，则2103214222aaa。则当32a时，2,1A；当32a时，2,1A选D二.填空题9．答案：63nannN解析：由题知，设等差数列公差为d，所以：1215134aaadaad，即1113+4=36aadad，解得13=6ad，所以1=163naandnnN。10．答案：12解析：cossina直线方程转化为xya即0xya2cos22cos圆的方程转化为222xyx即22(1)1xy、直线与圆相切112a解得12a0a12a11.答案：23解析：由题知：max14fxf，即cos146，所以246kkZ，解得:2=83kkZ，0，所以0k时，min23。12．答案：3解析：将不等式转换成线性规划，即121xyyxx目标函数2zyx如右图z在A(1,2)处取最小值min3z13.答案：23fxxx，答案不唯一解析：函数需要满足在0,2上的最小值为0f，并且在0,2上不单调。选取开口向下，对称轴在0,2上的二次函数均可，其余正确答案也正确。14.【答案】：31，2【解析】：设正六边形边长为t；根据椭圆的定义231at，22ct，31cea椭圆双曲线的渐近线方程为3yx，3ba，所以=2cea双曲线。三.解答题15.【解析】（Ⅰ）ABC中，1cos7B，所以B为钝角，243sin1cos7BB；由正弦定理：sinsinabAB，所以sinB3sin2aAb，所以2,3AkkZ；或者22,3AkkZ；又ABC中，B为钝角，所以A为锐角，所以3A。（Ⅱ）ABC中，1333sinsin(=sin+=sincos32214CABBB）（）B+，三角形ABC的面积1sin632ABCSabC，设AC边上的高为h，1186322ABCSbhh，所以332h，即AC边上的高为332。16.【解析】（I）证明：∵ABBC，且E是AC的中点，∴ACBE,∵在三棱柱111ABCABC中，E,F分别是AC,11AC的中点，∴1EFCC∥∵1CC平面ABC，∴EF平面ABC,∵AC平面ABC，∴EFAC,∵EF,BE平面BEF,EFBEE∴AC平面BEF.（II）由（I）知，EFAC，ACBE，EFEB,∴以E为原点，EA,EB,EF分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则有，0,2,0B,1,0,0C,1,0,1D,11,0,2C1,2,0BC，2,0,1CD设平面BCD的法向量,,znxy，∴00BCnCDn,即2020xyxz，∴2,1,4n，.易知平面1CDC法向量0,1,0m∴121cos,21211mnmnmn，由图可知，二面角1BCDC的平面角为钝角，∴二面角1BCDC的余弦值2121.（III）方法一：∵0,0,2F,0,2,1G,∴0,2,1FG∵平面BCD的法向量2,1,4n，设直线FG与平面BCD的夹角为，∴242sincos,0521521FGnFGnFGn，∴0∴直线FG与平面BCD相交.方法二：假设直线FG与平面BCD平行，∵设CD与EF的交点为M,连结BM，∵FG平面1BBFE,且平面1BBFE平面BCDBM,∴FGBM∥,∵BGFM∥,∴四边形BMFG为平行四边形，∴FMBG,易知FMBG，∴假设不成立，∴直线FG与平面BCD相交.17.【解析】（1）由表格可知电影的总部数140503002008005102000获得好评的第四类电影2000.2550设从收集的电影中选1部，是获得好评的第四类电影为事件A,则501()200040PA（2）由表格可得获得好评的第五类电影8000.2160第五类电影总数为800未获得好评的第五类电影800160640第四类电影总数为200未获得好评的第四类定影20050150设从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评为事件B则1111506401501601120080017()100CCCCPBCC（3）514236DDDDDD18.【解析】（1）函数定义域为xR，2()241e4143exxfxaxaaxaxa2e212xaxaxe12xaxx，若函数在1,1f处切线与x轴平行，则1e10fa，