第二讲复变函数

|z|M平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|d内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式0|z-z0|d所确定的点集为z0的去心邻域.包括无穷远点自身在内且满足|z|M的所有点的集合,其中实数M0,称为无穷远点的邻域.不包括无穷远点本身的仅满足|z|M的所有点称为无穷远点的去心邻域,也记作M|z|.0M一、平面点集1.邻域和开集设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.如果G内的边界也全属于G,则称G为闭集但如果z0的任意小的邻域，既有G中的点,也有非G的点称点Z0称为G的边界点.G的所有边界点组成G的边界.如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集2.区域1)D是一个开集;2)D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.如果非空点集D满足下列两条则称D为区域。区域D与它的边界C称为闭区域或闭域,记作D=D+C.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|M,则称D为有界的,否则称为无界的.平面曲线在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组x=x(t),y=y(t),(atb)代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t)(atb)来代表.这就是平面曲线的复数表示式.3.单连通域与多连通域设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足at1b,at2b的t1与t2,当t1t2而有z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C的重点.没有重点的连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.如果简单曲线C的起点与终点闭合,即z(a)=z(b),则曲线C称为简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C的外部,C为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.内部外部C定义复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域,01,2;RziRez例如：z二、复变函数1.复变函数的定义记为称w为z复变函数.zDf一个或多个复数w,wfz定义设D是复平面中的一个点集,D常常是一个平面区域,称之为定义域。在以后的讨论中,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.是多值函数.值，称多个是单值函数;值，称一个若)()(zfwzzfwz;()()(,)(,)zxiywuivwfzfxiyuxyivxy),(),(yxvvyxuu故()(,)(,)wfzuivuuxyvvxy其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数u,v.例如,考察函数w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,因而函数w=z2对应于两个二元函数:u=x2-y2,v=2xy则u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,三、复变函数的极限和连续性Azfzz)(lim0或记作当zz0时,f(z)A.1.函数的极限定义设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|内,如果有一确定的数A存在,对于任意给定的总有正数(),使得当0|z-z0|时，恒有|f(z)-A|,则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,记作0,几何意义:xyOz0zOuvAf(z)0lim()zzAfz意味着：0()zzfz当从平面上任一方向、沿任何路径、以任意方式趋近于时，均以A为极限。例1讨论0lim.zzz的极限000limlim1zyxziyziy解：000limlim1zxyzxzx当z沿实轴方向趋于0时，即则(0),zxx当z沿虚轴方向趋于0时，即则(0),ziyy0limzzz由于两个不同方向的极限不相等，从而不存在.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则0000000lim(,)lim().lim(,)xxyyzzxxyyuxyufzAvxyv运算性质：)(lim)(lim))()((lim)1(000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim)2(000zgzfzgzfzzzzzz0)(lim)(lim)(lim)()(lim)3(0000zgzgzfzgzfzzzzzzzz复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：当z0时的极限不存在例2证明函数Re()()||zfzz[证]令z=x+iy,则22(),xfzxy由此得22(,),(,)0.xuxyvxyxy让z沿直线y=kx趋于零,我们有2200()()lim(,)limxxykxykxxuxyxy22201lim.(1)1xxkxk故极限不存在.2.函数的连续性定义)()(lim00zfzfzz如果则说f(z)在z0处连续.如果f(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)在D内连续.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续.性质：(1)连续函数的四则运算仍然连续；(2)连续函数的复合函数仍然连续；(3)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模在D上取到最大值与最小值;例题2讨论zzfarg)(的连续性。x002222argargzz在区域内连续，argz在负实轴上不连续。