泊松分布

在Poisson定理中，0!kekll-00!!kkkkeekkllllゥ--===邋由此产生了一种离散型随机变量的概率分布—Poisson分布2312!3!ellll-骣÷ç÷=++++ç÷ç÷ç桫L1eell-=?第四章第二节泊松分布•泊松分布•泊松分布的期望、方差一、Poisson分布若(),0,1,2,!kPXkekkll-===L其中0是常数，则称X服从参数为的Poisson分布.或)(~X)(P记作验证定义的合理性泊松分布是一种比较常见的离散型随机变量的分布.第二次世界大战时，德军隔着英吉利海峡用飞弹轰击伦敦，后来发现各区落下的飞弹数服从泊松分布。例1.1910年，卢瑟福和他的学生兼同事改革研究α射线,实验装置由一个针发射源和不远处的一块屏组成他们每隔7.5秒记录一次打在屏上的α粒子数，一共记录了2608个数据。平均数是3.87，也就是每7.5秒里大约有3.87个α粒子数打在屏上我们将观测频数和均值为3.87的泊松分布的理论频数列表对比。样本数据观测频数理论频数05754.29861203210.52272383407.36143525525.49614532508.41765408393.51506273253.81737139140.324784567.882192729.1898101011.29631165.7787总计26082607.9999经统计方法检验，不能否认观测频数符合均值为3.87的泊松分布。12.985例.有人统计了公元1500年至1931年间每年爆发战争的次数，发现这432年中有223年没有爆发战争(已经爆发，正在继续进行的战争不算),一年中爆发1次,2次,3次和4次战争的总年数分别是142年,48年,15年和4年，平均爆发战争0.69次。把这些数据和均值为0.69的泊松分布的理论频数相比，发现它们吻合得很好。数据见下表。样本数据观察频数理论频数0223214.53121142150.163224052.674431512.7008442.4624经统计方法检验，不能否认一年中爆发战争的次数符合均值为0.69的泊松分布。有趣的是，有资料表明，一年中战争结束的次数也符合泊松分布。5.2041在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.①②③④⑤一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；⑥⑦⑧应用场合放射性物质发出的粒子数；设X~P(),求E(X)，D(X).解0!)(kkkekXE11)!1(kkke)())1(()(2XEXXEXE!)1())1((0kekkXXEkk2222)!2(kkke二、期望与方差的计算22)(XE)()()(22XEXEXD三、泊松分布的可加性若12~(),~(),XPYP且X与Y相互独立，则12()XYP由此可见，两个独立的泊松分布随机变量的和仍是一个服从泊松分布的随机变量，且其参数为相应的随机变量分布的参数之和。该事实通常称作泊松分布对加法具有封闭性，或泊松分布具有可加性。四、几何分布描述伯努利试验中，首次出现“成功”所需要的试验次数1()(1),1,2,kPXkppk定义若随机变量的分布律为则称随机变量X服从参数为p(0p1)的几何分布。期望与方差11()(1)kkEXkpp1p22()()()DXEXEX21pp伯努利JacobBernoulli1654-1705瑞士数学家概率论的奠基人伯努利(JacobBernoulli)简介伯努利家属祖孙三代出过十多位数学家.这在世界数学史上绝无仅有.伯努利幼年遵从父亲意见学神学,当读了R笛卡尔的书后,顿受启发,兴趣转向数学.1694年,首次给出直角坐标和极坐标下的曲率半径公式,同年关于双纽线性质的论文,使伯努利双纽线应此得名.此外对对数螺线深有研究,发现对数螺线经过各种变换后,结果还是对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余,遗言把对数螺线刻在自己的墓碑上,并附以颂词:纵使变化,依然故我nyxqyxpdydx)()(/1695年提出著名的伯努利方程1713年出版的巨著《推测术》,是组合数学及概率史的一件大事.书中给出的伯努利数、伯努利方程、伯努利分布等,有很多应用,还有伯努利定理,这是大数定律的最早形式.