泊松过程

第三章泊松过程例1泊松过程的一个实例背景：考虑在时间间隔(0,t]中某保险公司收到的某类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程.此类过程有如下特点：(1)零初值性：N（0）=0；(2)独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次数彼此独立；(3)平稳增量性：在同样长的时间区段内理赔次数的概率规律是一样的；(4)普通性：在非常短的时间区段Δt内的理赔次数几乎不可能超过1次,且发生1次理赔的概率近似与Δt成正比。例2顾客到达某商店服从参数λ=4人/小时的泊松过程，已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。解：设X(t)表示在时间t时到达的顾客数P(X(0.5)=1，X(2.5)=5)=P(X(0.5)=1，X(2.5)-X(0.5)=4)=P(X(0.5)=1)P(X(2)=4)5.041!1)5.04(e244!4)24(e0155.03.2泊松过程的基本性质数字特征泊松过程的时间间隔Tn与等待时间Wn的分布到达时间Wn的条件分布数字特征均值函数方差函数()[()][()(0)]mtEXtEXtXtX2[()][()(0)]()XXtDXtXttD相关函数协方差函数X2222RE[X(s)X(t)]=E{X(s)[X(t)-X(s)+X(s)]}=E[X(s)-X(0)][X(t)-X(s)]+E[X(s)]E[X(s)-X(0)]E[X(t)-X(s)]+D[X(s)]+{E[X(s)]}s(t-s)+s+(s)st+λs=s(t+1),(s,t)====()()(,)(,)XXBRmsmtsXXstst推导过程设{X(t),t0}是参数为的泊松过程，对任意t,s[0,+)，若st，则有tXtXDtXDttXtXEtXEtmstsXtXDsXtXEXX)]0()([)]([)()]0()([)]([)()()]()([)]()([2)1()()()]([)]([)]()([)]0()([)]([)]([))]()())(0()([(]))([())]()()(([))]()()()(([)]()([),(2222tsssstssXEsXDsXtXEXsXEsXEsXDsXtXXsXEsXEsXtXsXEsXsXtXsXEtXsXEtsRX),min(),(,),(,)()(),(),(tstsBttsBststmsmtsRtsBXXXXXX从而则若协方差函数泊松过程的特征函数为)1(expexp!)(!)()()(000)(iuiutnniutnntiunniuntiuXXetteenteenteentXPeeEug泊松过程的时间间隔Tn与等待时间Wn的分布设{X(t),t0}是参数为的泊松过程，X(t)表示到t时刻为止事件A发生的次数,Wn表示第n次事件A发生的时间(n1)，也称为第n次事件A的等待时间,或到达时间,Tn表示第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔。等待时间Wn与时间间隔Tn均为随机变量时间间隔Tn设{X(t),t0}是参数为的泊松过程，{Tn,n1}是相应第n次事件A发生的时间间隔序列，则随机变量Tn是独立同分布的均值为1/的指数分布。证：(1)n=1事件{T1t}发生当且仅当在[0,t]内没有事件发生1111()0()(0)0()11ttTPTtPXtPXtXeFtPTtPTteT1服从均值为1/的指数分布(2)n=2P{T2t|T1=s}=P{在(s,s+t]内没有事件发生|T1=s}=P{X(s+t)-X(s)=0|X(s)-X(0)=1}=P{X(s+t)-X(s)=0}T2服从均值为1/的指数分布tTetTPtTPtF11)(222(3)n1tnnTtnnnnnetTPtTPtFessXtssXPsTsTtTPn11)(0)()(,,|11111111LLL时间间隔Tn的分布为概率密度为0,00,)(0,00,1)(ttetfttetTPtFtTtnTnn等待时间（到达时间）Wn设{X(t),t0}是参数为的泊松过程，{Wn,n1}是相应等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布，概率密度为0,00,)!1()()(1ttntetfntWn证明：，Ti为时间间隔1(1)nniiWTn()()()()()()!nnWnjnjtjnjnWtXtnFtPWtPXtnPXtjtPXtjej)!1()()!1()(!)(!)(!)()()()(111ntejtejtejtjejtedttdFtfntjnjtjnjtjnjtjnjtWWnn到达时间Wn的分布参数为n与的分布又称爱尔兰分布，它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的分布。到达时间Wn的条件分布假设在[0,t]内事件A已经发生1次，我们要确定这一事件到达时间W1的分布。因为泊松过程有平稳独立增量，固有理由认为[0,t]内长度相等的区间包含这个时间的概率相等。换言之，到达时间在[0,t]上服从均匀分布。对st，有1)(1)(,1)(1)(1)(,1)(|11tXPtXsXPtXPtXsWPtXsWPtsteesetXPsXtXPXsXPtXPsXtXXsXPtXPtXsXPtsts)(1)(0)()({}1)0()(1)(0)()(,1)0()(1)(1)(,1)(1)(1sXsW1)()(tXsXts对st，有1)}()({}0)()({1)(}1)({}0)()({1)(1)(,0)()(1)(1)(,1)(1)(1)(,1)(|11tXsXPtXsXPtXPtXPtXsXPtXPtXtXsXPtXPtXsXPtXPtXsWPtXsWP)()(tXsXts从而W1的条件分布函数为tststsssFtXW,10,0,0)(1)(|1条件分布密度函数为,00,1)(1)(|1tstsftXW设{X(t),t0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次事件的到达时间W1W2Wn的条件概率密度为1212!,0(,,,)0,nnnnttttftttt其他例1设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0st,对于0kn,求在[0,s]内事件A发生k次的概率解：ntXPknsXtXPksXPntXPknsXtXksXPntXPntXksXPntXksXP)()()()()()()(,)()()(,)()(|)(参数为n和s/t的二项分布knnknntknstkststsCnteknstekse1!)()!()]([!)()(例2已知仪器已知仪器在[0,t]内发生振动的次数X(t)是具有参数λ的泊松过程。若仪器振动k(k≥1)次就会出现故障，求仪器在时刻t0正常工作的概率。解：仪器发生第k振动的时刻Wk，则Wk的概率分布为Γ分布：1(),0()(1)!0,0kttetftWkkt故仪器在时刻t0正常工作的概率为：()01()d0(1)!PPWtkkttettk[()]0()1000!PXtkntktenn例3设和是分别具有参数和的相互独立的泊松过程，证明（1）是具有参数的泊松过程；（2）不是泊松过程。)()()(21tXtXtZ)()()(21tXtXtY12)(1tX)(2tX证明：（1）})()({ntYtYPniitXtXintXtXP01122})()(,)()({niitXtXPintXtXP01122})()({})()({)!()(!)(20121ineieinnii即是具有参数的泊松过程。)()()(21tXtXtYniiniintCne021)()()(!21ntne])[(!21)(21（2）故不是泊松过程。ttEZ)()(21)()()(21tEZttDZ)()()(21tXtXtZ由例3可得以下性质：设{X(t),t0}、{Y(t),t0}是相互独立且强度分别为λ和μ的齐次泊松过程，则Z={Z(t)=X(t)+Y(t),t0}是λ+μ的齐次泊松过程。（泊松过程具有可加性）练习题1．设电话总机在内接到电话呼叫数是具有强度（每分钟）λ为的泊松过程，求（1）两分钟内接到3次呼叫的概率；（2）“第二分钟内收到第三次呼叫”的概率。答案1．（1）（2）2334}3)()2({etYtYP20}3)1()2(,)0()1({kkXXkXXPP20}3)1()2({})0()1({kkXXPkXXP)]221()21[(22ee2．设是具有参数的泊松过程，假定是相邻事件的时间间隔，证明（即“泊松过程无记忆”性）。}{}|{2121sSPsSssSP2．证明：是相邻事件的时间间隔，故。)(~ES}{}{}{}|{2)(1211212121sSPeeesSPssSPsSssSPssss3．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为，，，且均为泊松过程，它们相互独立。若把这些汽车合并成单个输出过程（假定无长度、无延时），求（1）相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔概率密度；（2）汽车之间的不同到达时刻的间隔概率密度。1233．解：（1）相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔，故其概率密度函数为)(~1ET0,00,)(11ttetft（2）据题意，汽车合并成单个输出过程是参数为的泊松过程，故汽车之间的不同到达时刻的间隔服从指数分布，即其概率密度函数为)(tY321YT)(321E0,00,)()()(321321ttetftTY4．设是具有参数的泊松过程，证明（1）（2）nWEn)(2)(nWDn证：nnETTEEWnkkn11)(211)(nnDTTDDWnkkn5．设和设分别是具有参数和的相互独立的泊松过程，令和是的两个相继泊松型事件出现的时间，且对于，有和，定义，求的概率分布。}0),({ttX}0),({ttY12WW)(tXWWWtW)()(WXtX1)()(WXWX)()(WYWYNN解：令，则，【注意：由示性函数得：】WWT)(~1ET)()|()(ydFyYAPAPY0)()|(}{sdFsTkNPkNPT00)())(()()|)((sdFksYPsdFsTkTYPTT