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汽车修理问题摘要我们以排队论理论为基础，建立了汽车修理排队系统的数学模型。首先根据这个模型，利用以前的公式可以直接计算出工作台的利用率，以及汽车需排队候修的可能性和等待修理与正在修理的汽车数。其次利用分类讨论的方法可以求出当服务台为1,2,3时的费用，进而选出最小的费用。然后，建立了区间估计模型，利用黄金分割法使得驾驶员在汽车侯修时即被告知其大致修理完成时间区间。最后，针对此问题，提出了一些管理建议。基于假设检验理论，利用matlab软件对已有数据进行检验，得到汽车修理数量服从参数0.75的泊松分布，汽车修理时间服从参数0.45指数分布，所以该汽车修理问题属于（M/M/C）：（GD/∞/∞）系统。然后根据对该系统已知的公式可以算出工作台的利用率55.42%，汽车需排队候修的可能性为)3kP（0.1652以及等待修理与正在修理的汽车辆分别为0.3705和1.6625。通过建立费用的最小值模型，综合考虑修理工人数和设备费用，采用分类讨论，参考已知公式，画出函数图形，可以得出当服务台个数为1时的最小费用为496.7元，以及此时需要的修理工人数为2；当服务台个数为2时的最小费用为998.7元，需要的修理工人数为2；当服务台个数为3时的最小费用为463.1元，需要的修理工人数为1。通过比较可知当服务台为3个时，费用最小，即为该汽车维修点的人员和设备的最佳配置，所以应采取这种方案。首先利用正态分布求出修理时间的期望和方差，然后根据“3原则”原理，因为3||2||PP与的大小相差无几，所以改用2进行限制，得到汽车修理完成所在的区间，进而求出最终区间为[88,720]（单位：分）由于区间过大，因此进一步对区间进行优化并补充。建立了区间估计模型，在考虑数据的内部结构的前提下，我们采用黄金分割法，借助于VisualC++软件，对原来的等待时间区间进行不断的缩小优化，直到新的区间趋于稳定，即可以得到一个驾驶员大致修理完成时间为[191,266]（单位：分）。根据以上求出的结果，可以从工作台的利用率，驾驶员的等待时间，以及修理人员的配备等方面进行考虑，所以管理员应该适当优化一下工作台的数量，比如适当减小一下工作台的数量，以提高工作台的利用率等。关键词：排队论分类讨论正态分布黄金分割一．问题重述1.1问题背景汽车修理是一个随机服务系统，服务对象是各种不同类型汽车，也可以说是这些车辆的拥有者或驾驶员，统称为顾客，服务机构是汽车维修中心或汽车修理点，称为服务员或服务台。对于一个特定的汽车修理点来说，在某一时刻提供服务的顾客数量是有限的,且在整个服务过程中,对每一位顾客服务的时间长度也不确定。若在某一时刻,到达的顾客数量超过了汽车修理点的容量,顾客就必须排队等候，这种现象几乎是不可避免的，但如果顾客到达后需要排长队,就会造成顾客流失，有些顾客将不愿长时间等候而另求服务,这对于汽车修理点来说是一种损失。因此，作为汽车修理点的管理者，应根据自身的服务条件——人员和设备状况，考虑如何组织好修理生产,提高服务效率，以缩短顾客排队等候的时间，为尽可能多的顾客服务。同时，还应考虑如何降低服务成本，提高效益，使整个系统达到最佳运行状态。1.2相关信息我们考虑某汽车修理点的数学建模问题。该汽车修理点有三个工作台，共有九个维修技术工人。修理点的排队规则为顾客到达服务机构时,若所有服务台都被占用,则按先后次序单列排队等候服务。服务规则为先到先服务,即按到达的先后次序接受服务。附表一为该维修点2008年8月至2009年7月修理小车数量的原始记录资料(统计间隔时间均为一天,总天数为356天)。附表二为汽车修理服务时间记录表。该维修点有九名维修技术工人、三个工作台,根据以往经验，每个服务台每天的服务成本主要包括以下几项:(1)工资300元，(2)餐费30元，(3)房租54元，(4)水电费38元，(5)税收45元，(6)设备折旧费26元，(7)上缴费用100元，(8)设备维修费13元，(9)交通、洗涤、易损工具费等26元。顾客等待费用的确定比较困难,它包括停车损失、顾客等待时间长而无法返回的食宿费、车旅费等,由于各种大小车辆的停车损失不同，顾客离修理点的距离远近不同，但据调查，因汽车故障而造成停车的损失费平均不低于100元/台·天。1.3需要解决的问题问题一：通过计算工作台的利用率并分析结果。问题二：计算汽车需排队候修的可能性，以及等待修理与正在修理的汽车平均水平，并给出你的建议。问题三：从费用的角度研究该汽车维修点的人员和设备的最佳配置。问题四：作为等待修车的驾驶员，自然希望尽早知道自己大约何时能修理完毕。能否根据修理汽车的统计情况，在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间区间。问题五：是否还有其他比较好的改进或者管理建议？二．模型假设1.假设每天工作时间为12小时制.2.假设各服务台工作是独立的且平均服务率相同。3.假设每个服务台的工人数相同。4.假设单位时间内每个服务员服务顾客数与服务台工人数成正比。5.假设每个服务点修好一辆车后，可以立即着手修理下一辆。6.假设每天都能完成当天的工作量。7.需要修车的人数是无限的。8.工资每人100元/天，房租每人18元/天，餐费每人10元/天，水电费每人38/3元/天。三．符号说明1.顾客平均到达率；2.每个工作台的平均服务率；3.系统的服务强度（服务机构的平均利用率）；4.0P汽车修理点系统的空闲率；5.kP汽车修理点系统的状态概率；6.sL等待修理的汽车平均水平，即队长；7.qL正在修理汽车平均水平，即队列长8.小S每辆车修理完成的最短时间；9.大S每辆车修理完成的最长时间；10.均S每辆车修理完成的平均时间；四．问题分析4.1问题一的分析首先我们根据已有数据在Excel里画出相关的修理车辆的柱形图，观察图形的形状（见下图一）。同时我们也可以画出修理时间的折线图，观察图形的形（见下图二）图一每个月每天的修车辆05010015020025030035040017131925313743495561677379859197系列1图二汽车的修理时间通过观察以上两图，我们可以大致猜测修车数量服从泊松分布，修车时间服从指数分布。然后我们利用matlab函数判断修车数量是否服从泊松分布，指数分布（见附录程序一），接着在matlab里对所有数据进行拟合，求出拟合函数，并求出平均值，即为我们所需要的和值。为了验证拟合效果，我们又算出来所有数据的平均值，发现与上面所求出的结果相差无几，所以上述的拟合结果比较成功。经过上述的判断，我们已经可以确定此问题为一个(M/M/C):(GD/∞/∞)系统的排队问题。所以我们可以直接根据相关的计算公式得到工作台的利用率。4.2问题二的分析由问题一我们已经确定该题为一个顾客流服从泊松分布，服务时间服从指数分布，服务台为3个，服务规则为先来先服务规则，系统内能容纳的顾客人数为无穷，顾客来源为无穷的排队模型，所以我们可以直接利用已知的相关公式计算出来汽车需要排队等待的可能性，即为概率3kP。等待修理与正在修理的汽车平均水平即为等待修理的汽车数Lq和正在修理的汽车数LLqs。4.3问题三的分析我们已经假设了每个服务台的修理工人数是相等的，这已经将问题简化了，因为如果每个服务台的修理工人数不同的话，该问题就应该分解为三个独立的问题，应该建立三个不同的模型进行讨论，问题就变的复杂化，所以我们使得每个服务台的修理工人数相等。然后分别列举出当服务台个数为1,2,3时关于修理工人数的最小费用模型，再利用matlab软件求解该最小值模型可得到每个的最小费用，经过比较，我们可以得到最终的最小费用以及此时的人员分配和设备配置。4.4问题四的分析要想在驾驶员来时确定其大致的修好时间，就要求出在他之前那些人所需要的时间。首先我们建立了一个关于修理时间的正态分布函数，然后根据“3原则”在Excel里计算出每辆车从修理到完成的时间区间，进而求出结果。因为其求出的区间范围过大，我们采用下述模型对这个模型进行补充。由于不同车的修理时间长短不同，样本分布结构不一，为了估计合理的车辆修理时间长度，我们进而采用黄金分割法，同时考虑到类聚区间要反映样本数据的内部结构，在估计区间时采用了平均修理时间进行计算，进而我们就可以得到最终所需要的时间区间，也即驾驶员从来到修理完成的大致时间区间。4.5问题五的分析由以上几问的计算，我们可以得到服务台的利用效率，汽车待修的几率，排队长等方面的数据，根据这些数据，管理员可以适当调整一下修理人员的安排以及服务台的安排，以提高服务台的利用效率，使驾驶员等待时间较短。五.模型建立与求解5.1问题一的模型建立与求解判断验证泊松流的过程我们分别把题目给出的“2008年8月～2009年7月汽车修理数量统计表”和“汽车修理服务时间记录表”中的数据，作为建立的排队模型中顾客流和服务流的原始参考。在处理这些数据时，首先利用Excel软件绘出“汽车修理数量”和“汽车修理服务时间”的柱状图（上图一和图二）。根据图像数值变化规律，猜测数据分别符合泊松分布和指数分布，然后利用Matlab函数检验，经判断得猜测正确，所以得出结论：排队模型中的顾客流服从泊松分布、服务流符合指数分布。在排队模型中计算顾客流和服务流的平均值时：先采用Excel算出数据的算数平均值分别为0.7234（个每工作小时）和2.2167（小时每次）；然后运用Matlab拟合计算求出平均值分别为0.75（个每工作小时）和2.2167（小时每次）（见附录程序二）。两种方法求出的结果很相似，但由于拟合计算求出的平均值更具有统计意义，故采用拟合结果作为模型参数。由以上可以确定该问题为一个（M/M/C）:(GD/∞/∞)的排队模型。排队论模型的建立(1)Poisson过程Poisson过程（又称Poisson流，最简单流）是排队论中一种常用来描述顾客达到规律的特殊的随机过程，需要同时满足如下四个条件：I平稳性。指在一定时间间隔内来到服务系统有k个顾客的概率kP(t)仅与这段时间区间间隔的长短有关。II无后效性。记载不相交的时间区间内顾客到达数是相互独立的。III普通型。是指在足够小的时间区间内只能有一个顾客到到达，不可能有两个或则两个以上的顾客同时到达。IV有限性。人已有限时间内到达有限个顾客的概率为1。只要一个顾客刘具有上面的四个性质，可知，则在时间区间[0,)t内到达系统的顾客数()Ntk个顾客来到服务系统的概率((t)kPN服从Poisson分布，即：()((t))(0,1,2,)!tktPNekk——————（7.1）(2)排队模型的表示排队模型记号X/Y/Z/A/B/CX—顾客相继到达的间隔时间的分布；Y—服务时间的分布；M—负指数分布、D—确定型、Ek—k阶爱尔朗分布。Z—服务台个数；A—系统容量限制（默认为∞）；B—顾客源数目（默认为∞）；C—服务规则（默认为先到先服务FCFS)。如M/M/n/K代表顾客输入为Poisson流，服务时间为负指数分布，有n个并联服务站，系统空间为K个的排队服务系统。(3)符号说明tN()为t时刻系统中的顾客数（又称为系统的状态），即队长；qtN（）为t时刻系统中排队的顾客数，即排队长；t（）为t时刻到达系统的顾客在系统中的逗留时间；qt（）为t时刻到达系统的顾客在系统中的等待时间；n(t)P为时刻t时系统处于状态n的概率，即系统的瞬时分布，nP为系统达到统计平衡时处于状态n的概率。N：系统处于平稳状态时的对长，记均值L=E(N)，称为平均对长；qN：系统处于平稳状态时的排队长，记均值qqLE（N）称为平均排队长；系统处于平稳状态时顾客的逗留时间，记均值()WE称为平均逗留时间；q系统处于平稳状态时顾客的等待时间，记均值()qqWE，称为平均等待时间；n当系统处于状态n时新来的顾客的平均到达率（即单位时间内来到系统的平均顾客数）；n当系统处于状态n时整个系统的平均服务率（即单位时间内可以服务完的平均顾客数）；当系统中顾客的平均到达率n为常数