2.4倒易点阵、晶带

倒易点阵人们在研究晶体对X射线或电子束的衍射效应时知道，某晶面（h,k,l)能否产生衍射的重要条件是该面相对于入射束的取向，以及晶面间距d(h,k,l)。因此为了从几何上形象地描述衍射条件，人们试图找到一种新的点阵，使该点阵的每一结点都对应着点阵中的一定晶面，即不仅反映该晶面的取向，而且还反映晶面间距。hkldOP1具体来说要求从新点阵原点O至任一结点P（h,k,l)的矢量OP正好沿正点阵中(h,k,l)面的法线方向，而OP的长度就等于晶面距的倒数，即这样的点阵就称为倒易点阵。倒易点阵是描述晶体结构的一种数学抽象方法，倒易点阵本身是一种几何构图，它和空间点阵具有倒易关系。一个实在的晶体点阵经过一定转化导出一套抽象点阵，这个抽象点阵的每一个阵点和实在点阵中的一个点阵平面有相对应的倒易关系。倒易点阵的衍射理论是一般的衍射理论，它是了解射线在晶体中的衍射几何和解释晶体射线衍射图谱的强有力工具，因此学习倒易点阵可为以后的有关课程作基础准备，而在本章中倒易点阵使晶面取向、晶带、晶面间距等问题更容易描述。一、两向量的数量积cos||||babaab两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.2||)1(aaa0)2(ba.ba补充知识点数量积也称为“点积”、“内积”.二、两向量的向量积向量a与b的向量积为bacsinba(其中为a与b的夹角).0)1(aa)0sin0(ba)2(//.0ba)0,0(bac的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合右手系.补充知识点任给向量，对应有点rrOMM使,xyzo),,(zyxM),0,0(zR)0,0,(xP)0,,0(yQ如图所示：向量的坐标表示kzjyixr则有zyxr,,r记作：的坐标表示式上式称为向量设向量),,(zyxaaar向量模长的坐标表示式222||zyxaaaa2、向量的模倒易点阵的数学表达形式设V为正点阵单胞的体积因为).(bacV所以cba//)(),,(1lkhdcVbac同理VcabVcba按同样的方法可得倒易点阵的性质（1）正点阵和倒易点阵的同名基矢的点积为1，不同名基矢的点积为0.Vcba（2）正点阵单胞的体积和倒易点阵单胞的体积互成倒易关系。VV1).(bacV（3）倒易向量Hhkl的方向是正点阵（hkl）面网的法线方向，所以在倒易点阵中必和正点阵的（hkl)面垂直，即倒易点阵的阵点方向hklhklhklhkl和正点阵的面垂直，即hkllckbhaHhkl从原点指向阵点的倒易矢量（4)倒易向量Hhkl的长度是正点阵面网间距dhkl的倒数Hhkl=1/dhkl。倒易点阵的应用----晶带方程相交于同一直线(或平行于同一直线)的所有晶面的组合称为晶带。该直线称为晶带轴。属此晶带的晶面称为共带面。如果晶带轴的方向是[uvw]，这个晶带就叫[uvw]晶带。显然如果（hkl）属于[uvw]晶带，则晶面（hkl）的法线方向必垂直于[uvw]。同一晶带轴中的所有晶面的共同特点是：所有晶面的法线都与晶带轴垂直。如何判断某晶面（hkl）是否属于[uvw]晶带？上式展开就是晶体学中十分重要的晶带方程hu+kv+lw=0凡满足此关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带，故此关系式也称作晶带定律。根据倒易点阵的性质，晶面（hkl）的法线方向平行于倒易矢量lckbha0lckbhawcvbua晶带定律的应用（1）111222uvwhklhkl00222111wlvkuhwlvkuh111111222222::::kllhhkuvwkllhhk晶带定律的应用（2）111111222222::::vwwuuvhklvwwuuv111222hkluvwuvw晶带定律的应用（3）晶带定律的应用（4）111111晶带轴的方向指数是或者相同问题：判断三条直线是否共面？问题：求（121）和（100）决定的晶带轴与（001）和（111）所决定的晶带轴所构成的晶面的面指数？（121）和（100）决定的晶带轴201（001）和（111）决定的晶带轴011所以晶面指数是（221）倒易点阵的应用----晶面间距晶面指数不同的晶体之间的区别在于晶面位向和晶面间距(即相邻的两个平行晶面之间的距离)不同，若晶面指数确定，则晶面的位向和面间距就确定。::cos:cos:coshkl对立方晶系，晶面指数(hkl)已知晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的；空间任意直线的位向可以用它的方向余弦来表示。γβαXYZNO晶面指数与晶面位向间的关系ABCD；haOA；kaOB；laOC；OAODcos；OBODcos；OCODcosOCOBOA1:1:1cos:cos:coslkh::cos:cos:cos如图：ON为晶面（hkl）的法线，ON与该晶面交于D点；OA、OB、OC分别为（hkl）在X、Y、Z轴上的截距；ON与X、Y、Z轴之间的夹角分别为α、β、γ；cosα、cosβ、cosγ就是法线ON的方向余弦。立方点阵中晶胞的三个基矢相等，设其为a，则根据晶面指数的确定方法可知：即晶面（hkl）的法线与晶向[hkl]的方向平行)(1222kljkihlkhON所以，只要晶面指数一旦确定，晶面位向即可求得。因此，晶面（hkl）的法线矢量为：1coscoscos222从立体几何可知，在立方晶系中：由晶面指数求晶面间距dhkl通常，低指数的面间距较大，而高指数的晶面间距则较小晶面间距愈大，该晶面上的原子排列愈密集；晶面间距最大的面总是阵点(或原子)最密排的晶面。正是由于不同晶面和晶向上的原子排列情况不同，使晶体表现为各向异性。晶面间距愈小，该晶面上的原子排列愈稀疏。晶面间距公式的推导：从原点作(hkl)晶面的法线，则法线被最近的(hkl)面所交截的距离就是。coscoscoshklabcdhkl2222222coscoscoshklhkldabcγβαXYZNO晶面指数与晶面位向间的关系ABCD正交晶系立方晶系六方晶系222hkladhkl2221hkldhklabc22222143hkldhhkklac上述晶面间距公式仅适用于简单晶胞体心立方面心立方密排六方h+k+l=奇数hkl不全为奇数或者不全为偶数h+2k=3n(n=1,2,3….),l为奇数复杂晶胞附加面Dhkl/2还可以计算晶向长度，晶面夹角，晶向夹角，晶胞体积。对面心立方结构的晶体（点阵常数为a）分别计算（100）、（110）和（111）三个面的晶面间距，并指出晶面间距最大的晶面。222hkladhkl解：根据公式面心立方当hkl不全为奇数或者不全为偶数有附加面d＝1/2d(100)=0.5ad＝1/2d(110)=aa421121d(111)=aaa577.0333晶面间距最大的晶面是（111）晶面。晶面夹角两个空间平面的夹角，可用它们的法线的夹角来表示，因此晶面的夹角也可看成是两个晶向之间的夹角。根据空间几何关系，可以证明：两个晶向[u1v1w1]和[u2v2w2]之间的夹角φ有如下的关系。,kajaiaazyxkbjbibbzyx设zzyyxxbabababacos||||baba,||||cosbaba222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa两向量夹角余弦的坐标表示式222222212121212121coslkhlkhllkkhh对于立方晶系，晶面指数与其法线指数相同，故晶面和晶面夹角111lkh222lkh请计算简单立方晶体中，(111)和)111(的夹角3133111cos222222212121212121lkhlkhllkkhh例题