第二章 二次函数复习课

第二章二次函数复习课1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言或图象来进行描述.2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴交流.3.小结画二次函数图象的方法.4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明.5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函数的表达式、表格和图象刻画变量之间的关系.6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方程ax2+bx+c=0的根之间的关系.回顾与思考知识框架二次函数定义图象相关概念抛物线对称轴顶点性质和图象开口方向、对称轴、顶点坐标增减性解析式的确定一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x-h)2+k关联二次函数与一元二次方程的关系知识点1、二次函数的定义定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.提示:(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.（一）抛物线y=ax2(a≠0)的图象特点二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=ax2a＞0a＜0向上向下直线x=0（y轴）(0,0)向上直线x=0（y轴）（0，k）知识点2、二次函数的图象与性质（二）抛物线y=ax2+k(a≠0)的图象特点二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=ax2+ka＞0a＜0二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=a（x-h)2a＞0a＜0向上直线x=h（h，0）（三）抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的图象特点(四)抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象特点二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=a（x-h)2+ka＞0a＜0向上直线x=h（h，k）1、平移关系2、顶点变化当h0时,向右平移当h0时,向左平移y=ax2y=a(x－h)2（h,0)（0,0)当k0时,向上平移当k0时,向下平移y=a(x－h)2+k（h,k)知识点3、抛物线的平移-1-2-3-401234••••••••123456-1-2观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6x+7的图象是怎样由y=x2的图象平移得到的？y=x2-6x+7=(x-3)2-2a0a0开口方向向上向下顶点)44,2(2abacab)44,2(2abacab对称轴abx2abx2增减性最值当时abx22min4acby4a-=当时abx2abacy442max当时y随x的增大而减少abx2y随x的增大而增大当时abx2y随x的增大而减少当时abx2abx2y随x的增大而增大当时二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质2.求下列二次函数的对称轴和顶点坐标.（1）y=2-2x²;(2)y=-3(x-1)²+5(3)y=4(x+3)²-1;(4)y=x(5-x)(5)y=1+2x-x²;(6)y=2x²-7x+12复习题——图象的性质（一）2、已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_______________1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)二次函数解析式的两种表示方式例1.二次函数的图象经过点A（0，-3），B(2，3），C(-1,0）.（1）求该二次函数的表达式；（2）求该二次函数图象的顶点坐标；（3）写出将这个二次函数的图象向上平移4个单位长度后所对应的二次函数的表达式.例2、二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求a、b、c。解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时，x=1∴顶点坐标为（1，2）∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x例3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。解：∵点A在正半轴，OA=4，∴点A（4，0）∵点B在负半轴，OB=1，∴点B（-1，0）又∵∠ACB=90°∴OC2=OA·OB=4∴OC=2，点C（0，-2）抛物线的解析式为ABxyOC223212xxy二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac01.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式的符号：a0,b0,c0,∆0,a-b+c_____0,a+b+c0=2.已知二次函数y=ax²+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的解为_____.310xy3.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的值总为负，那么a、c应满足的条件是（）A.a0且b2-4ac≥0B.a0且b2-4ac0C.a0且b2-4ac0D.a0且b2-4ac≤0C二次函数的应用最大值问题(1)最大利润问题；(2)最大面积问题解：设旅行团人数为x人,营业额为y元,则y例1：某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？（元）＝时，＝当最大值30250y55x30250)55(10110010)]30(10800[22xxxxx答：当旅行社的人数是55人时，旅行社可以获得最大的营业额。最大利润问题方法1：解:如图,设矩形的一边AB=xm,那么另一边BC=(15-x)m,面积为Sm2,则例1：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大?BDAC)(25.56422544y)(5.72152bx0115)15(222cmabaccmaaxxxxS＝时＝当最大值最大面积问题方法2：解:如图,设矩形的一边AB=xm,那么另一边BC=(15-x)m,面积为Sm2,则例1：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大?BDAC)(25.56y)(5.7x0125.56)5.7(15)15(222cmcmaxxxxxS最大值时当23.如图，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=12，在ΔABC中截出一个矩形DEFG，其中D，G分别在AB和AC边上，EF在BC边上.设EF=x，矩形DEFG的面积为y，写出y与x之间的函数关系，列出表格，并画出相应的函数图象.根据三种表示方法回答下列问题：（1）自变量x的取值范围是什么？（2）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？（3）你能描述y随x的变化而变化的情况吗？5.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v²来表示，其中v(km/min)表示汽车的速度.（1）列表表示I与v的关系；（2）当汽车的速度增加到原来的2倍时，撞击影响扩大到原来的多少倍？图象的性质（二）6.自由落体运动是由于引力的作用而造成的，地球上物体自由下落的时间t(s)和下落的距离h(m)的关系式是h=4.9t².我们知道，对同一物体，月球的引力大约是地球引力的，因此月球上物体自由下落的时间t(s)和下落的距离h(m)的关系大约是h=0.8t².（1）在同一直角坐标系中画图，分别表示地球、月球上h和t的关系.（2）比较物体下落4s时，在地球上和月球上分别下落的距离；（3）比较物体下落10m时，在地球上和月球上分别所需要的时间（结果精确到0.1s）6111.正方形的边长是x，面积是A，周长是l.（1）分别写出A,l与x的关系式；（2）在同一直角坐标系中画出（1）中两个函数的图象，比较它们的变化趋势；（3）你所画的函数A=x²的图象与函数y=x²的图象有什么不同？为什么？12.已知平行四边形的高与底边的比是h:a=2:5，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况.13.如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=4x-x²刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画.（1）求小球到达的最高点的坐标；（2）小球的落点是A,求点A的坐标.121216.科研人员在测试一枚火箭向上竖直升空时，获得火箭的高度h(m)于时间t(s)的关系数据如下：时间(t/s)1510152025火箭高度h/m)155635101011351010635（1）根据上表，以时间t为横轴、高度h为纵轴建立直角坐标系，并描出上述各点.（2）你能根据坐标系中各点的变化趋势确定h关于t的函数类型吗？（3）你能确定h关于t的函数表达式吗？（4）你能求出该火箭的高度射程是多少吗？你是根据哪种表示方式求解的？19.相框边的宽窄影响可放入相片的大小.如图，相框长26cm，宽22cm，相框边的宽xcm，相框内的面积为ycm².（1）写出y与x的函数关系式；（2）画出这个函数的图象；（3）当x=1，1.5，2时，分别可以放入多大的相片？1.两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图象描述乘积与因数之间的关系.18.把一个数a拆成两数之和，何时它们的乘积最大？你能得出一个一般性的结论吗？函数的应用（一）4.把一根长120cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是多少？10.写出等边三角形的面积S与其边长a之间的关系式，并分别计算当a=1，√3，2时三角形的面积.14.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是15m，如果围篱笆才能使其所围矩形的面积最大？15.如图（单位：m)，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线l向正方形移动，直到AB与CD重合.设xs时，三角形与正方形重叠部分的面积为y㎡.(1)写出y与x的关系式；（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？复习题15.gsp17.如图，喷水池的喷水口位于水池中心，离水面高为0.5m，喷出的水流呈抛物线形状，最高点离水面m，落水点离水池中心1m.请建立适当的直角坐标系，用函数表达式描述左右两边的两条水流，并说明自变量的取值范围.16920.竖直向上发射的物体的高度h(m)满足关系式h=-5t²+v₀t，其中t(s)是物体运动时间，v₀(m/s)是物体被发射时的速度.某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m，那么喷水的速度应该达到多少？（结果精确到0.01m/s).21.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面AA₁的距离为8m.（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；（2）一大型货运汽车装载某大型设备后高为7m，宽4m.如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？22.一座抛物线型拱桥如图所示，桥下面宽度是4m，拱顶到水面的距离是2m.当水面下降1m后，水面宽度是多少？（精确到0.1m）24.某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，成本与销售月份之间的关系如图（2）所示（图（1）的图象是线段，图（2）的图象