2010年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷及详细答案

2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及详细答案一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.1.方程2logsin2xx在区间(0,]2上的实根个数为_________________.解：设2()logsin2fxxx，则1()cosln2fxxx，∵02x，∴0cos1x，又0ln12，∴()0fx，即在区间(0,]2上单调递增，故方程2logsin2xx在区间(0,]2上有且只有一个实根.2.设数列118()3n的前n项和为nS，则满足不等式1|6|125nS的最小整数n是______.解：易知数列118()3n是首项是8，公比是13的等比数列，∴18[1()]1366()131()3nnnS，于是1|6|125nS112132503125nn，∵53243250，63729250，故最小整数n是7.3.已知n（nN，2n）是常数，且1x，2x，，nx是区间0,2内任意实数，则函数1212231(,,,)sincossincossincosnnfxxxxxxxxx的最大值等于_________.解：∵222abab，∴1212231(,,,)sincossincossincosnnfxxxxxxxxx22222223112sincossincossincos222nxxxxxx2222221122(sincos)(sincos)(sincos)2nnxxxxxx2n，故所求函数的最大值等于2n.4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.解：圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有410109872101234C个交点.5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在n次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.解：由已知条件第n次到达起始点的概率记为na，则到其他两点的概率为1na，则第1n次到达起始点的概率为11(1)2nnaa；所以接下来构造一个等比数列来进行计算.即1111()323nnaa，其中10a，所以111()22(1)2332nnnnna.答案：22(1)32nnn6.设O是平面上一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足||||ACABOPOAACAB，其中[0,)，则点P的轨迹为_________________.解：∵||||ACABOPOAACAB，∴()||||ABACOPOAABAC，即()||||ABACAPABAC，又||ABAB，||ACAC为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，知点P的轨迹为BAC的平分线.7.对给定的整数m，符号()m表示1,2,3中使()mm能被3整除的唯一值，那么201020102010(21)(22)(23)_________________.解：由二项式定理知，20101005100524(31)31p，即20102被3除余1，∴2010(21)3，2010(22)12010(23)2，故201020102010(21)(22)(23)6.8.分别以直角三角形的两条直角边a，b和斜边c为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为aV，bV，cV，则22abVV与2(2)cV的大小关系是_________________.解：∵222222222222222()()()3399abVVbaababababc，224422242244(2)(2())()399cababVhabccc，∴作商，有22422222222222()(2)1(2)444abcVVcababVababab，故222(2)abcVVV.二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.（本小题满分16分）是否存在实数a，使直线1yax和双曲线2231xy相交于两点A、B，且以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点？解：设交点A、B的坐标为11(,)Axy、22(,)Bxy，由22131yaxxy消去y，得22(3)220axax，由韦达定理，得12223axxa，①12223xxa，②∵以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴OAOB，∴12120xxyy，即1212(1)(1)0xxaxax，整理，得21212(1)()10axxaxx③将①②代入③，并化简得22103aa，∴1a，经检验，1a确实满足题目条件，故存在实数a满足题目条件.2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数:1,2,3fZ，满足对任意的整数x，y，若||2,3,5xy，则()()fxfy.证明：假设存在这样的函数f，则对任意的整数n，设()fna，(5)fnb，其中,1,2,3ab，由条件知ab.由于|(5)(2)|3nn，|(2)|2nn，∴(2)fna且(2)fnb，即(2)fn是1,2,3除去a，b后剩下的那个数，不妨设(2)fnc又由于|(5)(3)|2nn，|(3)|3nn，∴(3)(2)fnfn.以1n代替n，得(4)(3)(2)fnfnfn，但这与|(4)(2)|2nn矛盾！因此假设不成立，即不存在这样的函数f.3.（本小题满分20分）设非负实数a，b，c满足1abc，求证：19(19)4abcabbccaabc证明：先证左边的不等式.∵1abc，∴222222()()3abbccaabbccaabcababbcbcacacabc639abcabcabc再证右边的不等式.不妨设abc，注意到条件1abc，得314()9()4()()9abbccaabcabcabcabbccaabc()()()()()()aabacbbabcccacb()[()()]()()0abaacbbcccacb，所以1(19)4abbccaabc，综上，19(19)4abcabbccaabc.