chapter 7.2 参数估计 假设检验

第七章参数估计§3区间估计•置信区间与置信度•一个正态总体未知参数的置信区间•两个正态总体中未知参数的置信区间nXX，，的点估计数在统计推断中，未知参1ˆ仅仅是未知参数，，但是，点估计值nxx1ˆ第七章参数估计§3区间估计区间估计就是根据样本给出未知参数的一个范围，并希望知道这个范围包含该参数的可信程度。，，，旦得到了样本观测值是一种有用的形式，一nxx1的值有一个能使我们对未知参数，，估计值nxx1ˆ明确的数量概念．范围，映出这个近似值的误差的一个近似值，没有反便的．这在应用上是非常不方第七章参数估计§3区间估计一、置信区间与置信度使得：找出统计量；对于样本含一待估参数设总体,ˆˆ),2,1)(,,(ˆˆ,,,2111iXXXXXniin)10(,1}ˆˆ{21P.1)ˆˆ(21置信区间的的置信度为为，称区间.)ˆˆ(21是一个随机区间，区间定义：.,1的可能性不包含真值表示该区间的可靠程度给出该区间含真值.595100100%.951%5个左右真值的有个左右，不包含真值的有个区间中包含次，则在得到的这时重复抽样，即置信度为例如：若通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%.第七章参数估计§3区间估计.1,),(~,,20201的置信区间的置信度为已知。求其中的一个样本为总体设NXXXn例1解：nXU/0构造样本的函数).1,0(~N-1/)-(-2/02/znXzP则1-02/02/nzXnzXP即nznz02/02/x,-x则的置信区间。的置信度为就是1第七章参数估计§3区间估计求置信区间的步骤：),;,,()1(1nXXZZ找一个样本的函数..赖于未知参数的分布是已知的，不依且数，而不包含其它未知参它包含待估参数Z.1}{,,1)2(bZaPba使，确定常数对给定的置信度.,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ);,()3(122111211都是统计量）（），（其中得到等价的不等式从不等式nnnXXXXbXXZa.1)ˆˆ()4(21的置信区间是置信度为，随机区间第七章参数估计1）均值的区间估计).(1,),(~,,2121，的置信区间下，来确定在置信度的一个样本为总体设NXXXn(1)方差已知时，估计均值,202设已知方差第七章参数估计§3区间估计二、一个正态总体未知参数的置信区间nXU/0构造样本的函数).1,0(~N第七章参数估计:121使得，，，查正态分布表，找出对于给定的置信度使：间；通常我们取对称区，由此可找出无穷多组),,(21即：-1}-{-0nXP§3区间估计.1}{21UP-1}|{|UP第七章参数估计得：查正态分布表,,2/1)(2z2/02/)-(-znXz，可知：由正态分布表的构造，1}|{|UP推得，随机区间：§3区间估计nznz02/02/x,-x.1的置信区间的置信度为是第七章参数估计§3区间估计说明：（1）置信区间不唯一，在置信度固定的条件下，置信区间越短，估计精度越高。（2）在置信度固定的条件下，n越大，置信区间越短，估计精度越高。（3）在样本量n固定时，置信度越大，置信区间越长，估计精度越低。第七章参数估计§3区间估计解：115)110120115(91x，由此得置信区间：查正态分布表得临界值96.1025.0z)57.119,43.110()9/796.1115,9/796.1115(由样本值算得：已知.05.0,9,70n例1已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110（cm）;；，置信度为假设标准差%9570.的置信区间试求总体均值nznz02/02/x,-x第七章参数估计(2)方差未知时，估计均值未知，由于方差2nSXT/而选取样本函数：，使得：与分布表，找，查对于给定的211t，1}{21TP使得：我们仍然取成对称区间),,(§3区间估计).1(~nt，1}|{|TP第七章参数估计),1(2nt)1(/-X)1(-22ntnSnt由此得：，可知：分布表的构造及由1}|{|TPt，即1}/{nSXP§3区间估计))1(,)1(-(22nSntXnSntX推得，置信区间为第七章参数估计§3区间估计例2用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度分别为：120,113.4,111.2,114.5,112.0,112.9,113.6度;设温度。),(~2NX的所在范围。时，试求温度的均值在置信度为%95解：由样本值算得：已知.05.0,7n.29.1,8.1122sx))1(,)1(-(22nSntXnSntX由此得置信区间：查表得.447.2)6(025.0t)85.113,75.111()729.1447.28.112,729.1447.28.112(第七章参数估计2）方差的区间估计.),(~,,21的一个样本为总体设NXXXn222)1(Sn样本函数：§3区间估计).1(~2n，使得：与分布表，得，查对于给定的2121，1}{221P对称的区间：，我们仍采用使概率分布密度函数无对称性虽然2第七章参数估计§3区间估计得分布表查,)1(2n),1(222n。)1(2211n，2/}{}{2212PP由此得：)1()1()1(2222221nSnn)1()1()1()1(22122222nSnnSn推得：这就是说，置信区间为：)1()1(,)1()1(2212222nSnnSn第七章参数估计例3设某机床加工的零件长度，),(~2NX今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度为95%时，试求总体方差的置信区间.2解：.00244.02s由此得置信区间：)0058.0,0013.0()26.600244.015,5.2700244.015(得分布表查,)1(2n,5.27)15(2025.0.26.6)15(2975.0)1()1(,)1()1(2212222nSnnSn由样本值算得：已知.05.0,16n一个正态总体未知参数的置信区间待估参数随机变量随机变量的分布双侧置信区间的上、下限2已知2未知2已知未知nX/nSX/niiX1221niiXX122110，N1ntn212nnzX2nSntX12nXnXniinii21122122211211221222nXXnXXniinii三、两个正态总体中未知参数的置信区间中抽取的样本，，是从正态总体，，设2111~NXXXm中抽取的样本，，是从正态总体，，2221~NYYYn的各种置信区间：下表给出了置信度为1第七章参数估计§3区间估计两个正态总体未知参数的置信区间（一）待估参数随机变量随机变量的分布双侧置信区间的上、下限21均已知、222但未知2221nmYX222121nmSYXw112110，N2nmtnmzYX22212nmSnmtYXw112221122212nmSnSmSw其中两个正态总体未知参数的置信区间（二）待估参数随机变量随机变量的分布双侧置信区间的上、下限2221njjmiiYmXn1222212121//nmF，，，njjmiiYmXnnmF12212121均已知、21均未知、21njjmiiYmXnnmF122121121，22222121SS），11(nmF，，22211112SSnmF222111112SSnmF，例4）：下（单位：如块，分别测得其收获量块，乙类试验田试验田类的收获量，随机抽取甲为比较甲乙两类试验田kg108的置信区间．期望差下，求两个总体差相同．试在置信度方量都服从正态分布，且假设两类试验田的收获2195.01解：样本的函数，，，，，，，，，，乙类：，，，，，，，，甲类：5.81.105.98.94.112.117.103.99.76.82.126.105.101.113.127.112.106.12)2(~11211222121nmtnmnmSnSmYXT第七章参数估计§3区间估计第七章参数估计§3区间估计1)2()2(22nmtTnmtP)2(11211)2(22221212nmtnmnmSnSmYXnmt由有nmnmSnSmnmtYXnmnmSnSmnmtYX11211)2(11211)2(22212212221221122212nmSnSmSw由样本观测值，，，，，，387.17.910851.04.1182221synsxm，得又由95.0112.2162025.02tnmt查表，得6.010181508.012.27.94.111122nmsnmtyxw间端点得计算公式，得将上面各数代入置信区8.210181508.012.27.94.111122nmsnmtyxw．，所求置信区间为8.26.0第七章参数估计§3区间估计025.02例5）．假设两个机器生（测得其样本方差为只，生产的产品）；随机抽取机器（只，测得其样本方差为生产的产品抽取机器机生产的钢管的内径，随与机器研究由机器222221mm29.013mm34.018sBsABA解：),1,1(~22222121nmFSSF第七章参数估计§3区间估计的置信区间．下求两总体方差比信度样本相互独立．试在置方差均未知．又设两个与总体正态分布，其总体期望产的钢管的内径均服从2221/90.01样本的函数由1//22222121bSSaP置信区间为的双侧因此，得12221，，1121nmFa，，112nmFb22211222111111122SSnmFSSnmF，，，第七章参数估计§3区间估计取，，，，29.01334.0182221snsm，得又由90.01112nmF，查