《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章 2.2.1平面向量基本

填一填练一练研一研本课时栏目开关2.2.12.2.1平面向量基本定理【学习要求】1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．会用平面向量基本定理解简单的几何问题．3．掌握直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式．4．掌握平面向量基本定理并能应用．【学法指导】1．对给定的向量a，实数λ1，λ2存在且唯一．实数λ1，λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的．填一填练一练研一研本课时栏目开关2.2.12．只有是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一．一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．3．平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平面内任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合．4．这个定理体现了转化与化归思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.填一填练一练研一研本课时栏目开关2.2.1填一填·知识要点、记下疑难点1．平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝.2．基底把向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．不平行a1e1＋a2e2不共线a1e1＋a2e2填一填练一练研一研本课时栏目开关2.2.1填一填·知识要点、记下疑难点3．直线的向量参数方程式已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)，对直线l上一点P，存在唯一的实数t满足向量等式OP→＝，反之，对每一个实数t，在直线l上都有的一个点P与之对应．向量等式OP→＝叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称．4．线段中点的向量表达式在向量等式OP→＝(1－t)OA→＋tOB→中，若t＝12，则点P是AB的中点，且OP→＝，这是线段AB的中点的向量表达式.任意(1－t)OA→＋tOB→唯一(1－t)OA→＋tOB→参数12(OA→＋OB→)填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1探究点一平面向量基本定理的提出(1)平面内的任何向量都能用这个平面内两个不共线的向量来表示．如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量AB→，CD→，EF→，GH→，HG→，a.通过观察，可得：AB→＝，CD→＝，EF→＝，GH→＝，HG→＝，a＝.2e1＋3e2－e1＋4e24e1－4e2－2e1＋5e22e1－5e2－2e1填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1(2)平面向量基本定理的内容是什么？什么叫基底？答平面向量基本定理是指：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.这里不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1探究点二平面向量基本定理的证明(1)证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e1，e2是平面内两个不共线的向量，a是这一平面内任一向量，a能否表示成λ1e1＋λ2e2的形式，请通过作图探究a与e1、e2之间的关系．答在平面内任取一点O，作OA→＝e1，OB→＝e2，OC→＝a，过点C分别作平行于OB，OA的直线，交直线OA于点M，交直线OB于点N，有OM→＝λ1OA→，ON→＝λ2OB→，∵OC→＝OM→＋ON→，∴a＝λ1e1＋λ2e2，如图所示．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1(2)证明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是和e1、e2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法)答假设存在另一组实数λ′1，λ′2也能使a＝λ′1e1＋λ′2e2成立，则λ′1e1＋λ′2e2＝λ1e1＋λ2e2.∴(λ′1－λ1)e1＋(λ′2－λ2)e2＝0.∵e1、e2不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0，∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a＝λ1e1＋λ2e2成立的实数对λ1，λ2是唯一的．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1探究点三直线的向量参数方程的应用(1)定义：若P在直线AB上(或P、A、B共线)，则一定存在实数t，使得OP＝(1－t)OA→＋tOB→.(2)应用：利用直线的向量参数方向可证明三点共线，若点A、B、P满足此方程式且OA→与OB→系数之和为1，则A、B、P三点共线．反过来也成立，即若A、B、P共线，且OP→＝mOA→＋nOB→，则m＋n＝1.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1例如，如图，设一直线上三点A、B、P满足AP→＝λPB→(λ≠－1)，O是平面上任一点，则()A.OP→＝OA→＋λOB→1＋λB.OP→＝OA→＋λOB→1－λC.OP→＝OA→－λOB→1＋λD.OP→＝OA→－2λOB→1－λA填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1[典型例题]例1已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.解∵a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又∵e1，e2不共线，∴3x－2y＝7，－2x＋y＝－4.解得x＝1，y＝－2，∴c＝a－2b.小结选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量．这有时要利用平面几何知识．要注意将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析解决．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1跟踪训练1如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→，AD→.解设AB→＝a，AD→＝b，则AM→＝AD→＋DM→＝AD→＋12AB→＝12a＋b，①AN→＝AB→＋BN→＝AB→＋12AD→＝a＋12b②由①②得12a＋b＝ca＋12b＝d，解得a＝－23c＋43db＝43c－23d，即AB→＝－23c＋43d，AD→＝43c－23d.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1例2如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若AB→＝a，AD→＝b，试用a、b表示DC→、BC→、MN→.解如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．则DC→＝AN→＝12AB→＝12a，BC→＝NC→－NB→＝AD→－12AB→＝b－12a，填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1MN→＝CN→－CM→＝－AD→－12CD→＝－AD→－12－12AB→＝14a－b.小结用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先仔细观察所给图形．借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1跟踪训练2如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若AB→＝a，AC→＝b，用a、b表示AD→、AE→、AF→.解AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋12BC→＝a＋12(b－a)＝12a＋12b；AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋13BC→＝a＋13(b－a)＝23a＋13b；AF→＝AB→＋BF→＝AB→＋23BC→＝a＋23(b－a)＝13a＋23b.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1例3如图，在△OAB中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，设OA→＝a，OB→＝b，以a，b为基底表示OM→.解设OM→＝ma＋nb(m，n∈R)，则AM→＝OM→－OA→＝(m－1)a＋nb，AD→＝OD→－OA→＝12b－a＝－a＋12b因为A，M，D三点共线，所以m－1－1＝n12，即m＋2n＝1.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1而CM→＝OM→－OC→＝m－14a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a＝－14a＋b，因为C，M，B三点共线，所以m－14－14＝n1，即4m＋n＝1.由m＋2n＝14m＋n＝1，解得m＝17n＝37，所以OM→＝17a＋37b.小结(1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；(2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1跟踪训练3如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中心的点B的对称点，OD→＝2DB→，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a和b表示向量OC→、DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．解(1)由题意，A是BC的中点，且OD→＝23OB→，由平行四边形法则，OB→＋OC→＝2OA→.∴OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53b.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1(2)EC→∥DC→.又∵EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.11．已知O、A、B三点不共线，设OA→＝a，OB→＝b，且P为靠近A点的线段AB的一个三等分点，则OP→等于()A.13a＋23bB.23a＋13bC.14a＋34bD.34a＋14b解析∵AP→＝13AB→，∴OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋13AB→＝OA→＋13(OB→－OA→)＝23OA→＋13OB→＝23a＋13b.B填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.12．设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)解析对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底．①②④填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.13．如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a，b表示AD→，则AD→＝________.解析AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋34BC→＝AB→＋34(AC→－AB→)＝14AB→＋34AC→＝14a＋34b.14a＋34b填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.14．已知G为△ABC的重心，设AB→＝a，AC→＝b.试用a、b表示向量AG→.解连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点，AG→＝23AD→＝23(AB→＋BD→)＝23×AB→＋12BC→＝23AB→＋13BC→＝23AB→＋13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b.填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.11．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的