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12009年海南省、宁夏区高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•宁夏）已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩∁RB=（）A．{1，5，7}B．{3，5，7}C．{1，3，9}D．{1，2，3}【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】A∩CNB中的元素是属于集合A但不属于集合B的所有的自然数．【解答】解：∵A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，∴A∩CNB={1，5，7}．故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细求解．2．（5分）（2009•宁夏）复数﹣=（）A．0B．2C．﹣2iD．2i【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有【分析】直接通分，然后化简为a+bi（a、b∈R）的形式即可．【解答】解：﹣=﹣=﹣=i+i=2i．故选D．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．3．（5分）（2009•宁夏）对变量x、y有观测数据（xi，yi）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i=1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断（）A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关2C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关【考点】散点图．菁优网版权所有【专题】数形结合法．【分析】通过观察散点图可以知道，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．【解答】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选C【点评】本题考查散点图，是通过读图来解决问题，考查读图能力，是一个基础题，本题可以粗略的反应两个变量之间的关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关．4．（5分）（2009•宁夏）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2B．2C．D．1【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标和渐近线方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距离．【解答】解：双曲线﹣=1的焦点为（4，0）或（﹣4，0）．渐近线方程为y=x或y=﹣x．由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d==2．故选A．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质和点到直线的距离公式．考查了考生对双曲线标准方程的理解和灵活应用，属基础题．5．（5分）（2009•宁夏）有四个关于三角函数的命题：P1：∃x∈R，sin2+cos2=；P2：∃x、y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；P3：∀x∈[0，π]，=sinx；P4：sinx=cosy⇒x+y=．其中假命题的是（）A．P1，P4B．P2，P4C．P1，P3D．P2，P4【考点】四种命题的真假关系；三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有【专题】简易逻辑．【分析】P1：同角正余弦的平方和为1，显然错误；3P2：取特值满足即可；P3将根号中的式子利用二倍角公式化为平方形式，再注意正弦函数的符号即可．P4由三角函数的周期性可判命题错误．【解答】解：P1：∀x∈R都有sin2+cos2=1，故P1错误；P2：x=y=0时满足式子，故P2正确；P3：∀x∈[0，π]，sinx＞0，且1﹣cos2x=2sin2x，所以=sinx，故P3正确；P4：x=0，，sinx=cosy=0，故P4错误．故选A．【点评】本题考查全称命题和特称命题的真假判断、以及三角函数求值、公式等，属基本题．6．（5分）（2009•宁夏）设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【考点】简单线性规划．菁优网版权所有【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值．故选B4【点评】目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案．7．（5分）（2009•宁夏）等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15B．7C．8D．16【考点】等比数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，∴4a1+a3=2×2a2，即4+q2﹣4q=0，即q2﹣4q+4=0，（q﹣2）2=0，解得q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．故选：A【点评】本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键．8．（5分）（2009•宁夏）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论错误的是（）A．AC⊥平面BEFB．AE，BF始终在同一个平面内C．EF∥平面ABCDD．三棱锥A﹣BEF的体积为定值【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有【分析】根据题意，依次分析：如图可知BE⊂平面BB1D1D，AC⊥BE，进而判断出A正确；根据EF∥BD，BD⊂面ABCD，EF⊄面ABCD判断出C项正确；设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，可分别求得S△BEF和AO，则三棱锥A﹣BEF的体积可得判断D项正确；根据A，B，E，F不在一个平面进而断定B错误．【解答】解：∵BE⊂平面BB1D1D，AC⊥BE，∴A对∵EF∥BD，BD⊂面ABCD，EF⊄面ABCD，∴C对，∵S△BEF=××1=，设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，AO=5∴VA﹣BEF=××=，∴D对∵B，E，F同在平面BB1D1D上，而A不在平面BB1D1D上，∴AE，BF不在同一个平面内，B错误故选B【点评】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系．考查了学生对直线与平面关系的基础知识的掌握．9．（5分）（2009•宁夏）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，若tan∠ABC=，则的值为（）A．B．C．2D．3【考点】圆的切线的性质定理的证明．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据切线长定理先证明∠ACB=90°，得直角三角形ABC；再由tan∠ABC==，得两圆弦长的比；进一步求半径的比．【解答】解：如图，连接O2B，O1A，过点C作两圆的公切线CF，交于AB于点F，作O1E⊥AC，O2D⊥BC，由垂径定理可证得点E，点D分别是AC，BC的中点，由弦切角定理知，∠ABC=∠FCB=∠BO2C，∠BAC=∠FCA=∠AO1C，∵AO1∥O2B，∴∠AO1C+∠BO2C=180°，∴∠FCB+∠FCA=∠ACB=90°，即△ACB是直角三角形，∴∠ABC=∠BO2D=∠ACO1，设∠ABC=∠BO2D=∠ACO1=β，则有sinβ=，cosβ=，∴tanβ=•=•，∴（tanβ）2==2．故选C．6【点评】本题综合性较强，综合了圆的有关知识，所以学生所学的知识要系统起来，不可单一．10．（5分）（2009•宁夏）如果执行如图的程序框图，输入x=﹣2，h=0.5，那么输出的各个数的和等于（）A．3B．3.5C．4D．4.5【考点】循环结构；程序框图．菁优网版权所有【专题】压轴题；图表型．【分析】按照程序框图的流程，判断出x的值是否满足判断框中的条件，求出所有输出的y值，再将各值加起来．【解答】解：第一次输出y=0；第二次输出y=0；第三次输出0；第四次输出y=0；第经过第五次循环输出y=0；第六次输出y=0.5；第七次输出y=1；第八次输出y=1；第九次输出y=1各次输出的和为0+0+0+0+0+0.5+1+1+1=3.5故选B【点评】本题考查解决程序框图的循环结构，常用的方法是求出前几次循环的结果找规律．11．（5分）（2009•宁夏）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（）7A．48+12B．48+24C．36+12D．36+24【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；图表型．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高已知，底面是长度为6的等腰直角三角形，故先求出底面积，再各个侧面积，最后相加即可得全面积．【解答】解：此几何体为一个三棱锥，其底面是边长为6的等腰直角三角形，顶点在底面的投影是斜边的中点由底面是边长为6的等腰直角三角形知其底面积是=18又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3，棱锥高为4，所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形高是4，底面边长为6，其余两个侧面的斜高为=5故三个侧面中与底面垂直的三角形的面积为4×6=12，另两个侧面三角形的面积都是=15故此几何体的全面积是18+2×15+12=48+12故选A【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．12．（5分）（2009•宁夏）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为（）A．7B．6C．5D．4【考点】函数的图象．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．【解答】解：解法一：8画出y=2x，y=x+2，y=10﹣x的图象，观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）=2x，当2≤x≤4时，f（x）=x+2，当x＞4时，f（x）=10﹣x，f（x）的最大值在x=4时取得为6，故选B．解法二：由x+2﹣（10﹣x）=2x﹣8≥0，得x≥4．0＜x≤2时2^x﹣（x+2）≤0，2x≤2+x＜10﹣x，f（x）=2x；2＜x≤4时，x+2＜2x，x+2≤10﹣x，f（x）=x+2；由2x+x﹣10=0得x1≈2.84x＞x1时2x＞10﹣x，x＞4时x+2＞10﹣x，f（x）=10﹣x．综上，f（x）=∴f（x）max=f（4）=6．选B．【点评】本题考查了函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009•宁夏）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为y=x．【考点】抛物线的简单性质；直线的一般式方程．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】设出A，B的坐标，代入抛物线方程，两式相减，整理求得直线l的斜率，进而利用点斜式求得直线的方程．【解答】解：抛物线的方程为y2=4x，A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1≠x2，两式相减得，y12﹣y22=4（x1﹣x2），∴∴直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即y=x故答案为：y=x9【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦