微积分(函数的极值最值及其应用) 精品课件

信息学院罗捍东1第四节函数的极值、最值及其应用4.4.1函数的极值及其求法oxyab()yfx1x2x4x5x6xoxyoxy0x0x信息学院罗捍东2定义：函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.00000000000()(,),(,),,,,()(),()();,,,()(),()().fxabxabxxxfxfxfxfxxxxxfxfxfxfxx设函数在区间内有定义是内的一个点如果存在着点的一个邻域对于这邻域内的任何点除了点外均成立就称是函数的一个,是如果存在着点的一个邻域对于这邻域内的任何点除了点外均成立就称是函数极大值极小值极大的一个,是值点极小值点信息学院罗捍东3定理：(必要条件)若点x0是函数f(x)的极值点,且f(x)在x0可导,则。定义：(()0)().fxfx使导数为零的点即方程的实叫做函数的驻点根注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x0()0fx信息学院罗捍东4定理2(一阶充分条件)设函数f(x)在x0的某空心邻域内可导，且在x0连续。0001),()0;,()0;().xxfxxxfxxfx当时当时则是的极大值点0002),()0;,()0;().xxfxxxfxxfx当时当时则是的极小值点003)();.fxxx若在的左右不变号则不是极值点证:根据函数单调性判别定理，由1）中条件可知，函数f(x)在点x0的左邻域内单调增加，在点x0的右邻域内单调减少。信息学院罗捍东5求极值的步骤:);()1(xf求导数而f(x)在x0处又是连续的，故由极大值的定义可知，f(x0)是f(x)的极大值。(2)求的点和不可导点。0()fx(3)检查在驻点和不可导点左右的正负号，由此判断极值点。()fx(4)求极值。信息学院罗捍东6例1：解：32()(5).fxxx求函数的极值把定义域分成区间列表讨论2232()3(5)2(5)(5)(515)fxxxxxxxx123()0,0,3,5fxxxx令得驻点x(5,)3)(xf)(xf00不是极值(,0)极大值极小值(0,3)(3,5)500由表可知，f(x)在x＝3处取极大值f(3)=108，f(x)在x＝5处取极小值f(5)=0。信息学院罗捍东7例2：解：32()(25).fxxx求函数的极值把定义域分成区间列表讨论21333101010(1)()333xfxxxx12()0,1,()0fxxfxx令得驻点且在不可导。x(,0)(1,))(xf)(xf01极小值极大值不存在0(0,1)由表可知，f(x)在x＝0处取极大值f(0)=0，f(x)在x＝1处取极小值f(1)=－3。信息学院罗捍东8定理3(二阶充分条件)：设f(x)在x0处具有二阶导数,且f/(x0)=0,f//(x0)≠0,那末(1)当f//(x0)＜0时,函数在x0处取得极大值；(2)当f//(x0)＞0时,函数在x0处取得极小值。证:1()xxfxxfxfx)()(lim)(0000,0异号，与故xxfxxf)()(00时，当0x00()()0,fxxfx有时，当0x00()()0,fxxfx有所以，函数)(xf在0x处取得极大值．同理可证(2).信息学院罗捍东9例3:解:.20243)(23的极值求出函数xxxxf2463)(2xxxf，令0)(xf.2,421xx得驻点)2)(4(3xx,66)(xxf)4(f,018(4)60,f极大值为)2(f,018(2)48.f极小值为4,x故为极大值点2,x故为极小值点信息学院罗捍东10Mm注意:.2,)(,0)(00仍用定理处不一定取极值在点时xxfxf20243)(23xxxxf图形如下信息学院罗捍东11考研题欣赏（2005年3，4）设（A）是极大值，是极小值。sincosfxxxx下列命题中正确的是。2f0f（B）是极小值，是极大值。2f0f（C）是极大值，也是极大值。2f0f（D）是极小值，也是极小值。2f0f答案：（B）信息学院罗捍东124.4.2函数的最值及其求法oxyaboxyaboxyab若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上一定存在最大值M和最小值m.信息学院罗捍东13步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值，则这个极值就是最值(最大值或最小值)。信息学院罗捍东14例4:解:26612621()()()fxxxxx.]4,3[14123223上的最大值与最小值的在求函数xxxy得解方程,0)(xf.1,221xx计算(3)23;f(2)34,f(1)7;f(4)142.f，最大值142)4(f比较得.7)1(f最小值信息学院罗捍东1514123223xxxy信息学院罗捍东16例5:220808yxyxyxyx由直线，及抛物线围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使曲线在该点处的切线与直线及所围成的三角形面积最大．解:如图,),,(00yxP设所求切点为为则切线PT),(2000xxxyy,200xy),0,21(0xA)16,8(200xxB),0,8(CTxyoPABC信息学院罗捍东17,0)1616643(41020xxS令解得).(16,31600舍去xx8)316(s.0.274096)316(为极大值s.274096)316(最大者为所有三角形中面积的故s200011(8)(16)22ABCSxxx信息学院罗捍东18实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最值(最大值或最小值)。信息学院罗捍东19例6:某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月1800元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费200元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解:设房租为每月元，x租出去的房子有套，100180050x每月总收入为:10068)200()(xxxR信息学院罗捍东201001)200(10068)(xxxR5070x0)(xR3500x（唯一驻点）故每月每套租金为3500元时收入最高.最大收入为:3500()(3500200)68100Rx)(108900元1050()Rx即为极大值。10068)200()(xxxR信息学院罗捍东21例7:一工厂生产某种产品，每月产量为x(千克)时，总成本C（万元）为：求当产量为多少时，平均成本最低。21()432002Cxxx解:平均成本函数为：()13200()42CxCxxxxC()0,80,xx令得213200(),2CxxQ36400(),(80)0,CxCx又于是Q所以当产量x＝80时，平均成本最低为C(80)＝84。信息学院罗捍东22一般地设总成本函数为C=C(x),x为产量。则平均成本函数为:()()CxCxx要使平均成本函数最低，则应有：2()()()()()()0CxCxxCxCxCxCxxxx于是有00()()CxCx即平均成本＝边际成本信息学院罗捍东23例8：某商品需求量Q与价格P之间的函数的关系为Q＝1000－100P，求当P=?时总收益最大。解：依题意总收益函数5p得()2000,RP又Q所以当价格P＝5时，总收益最大为R(5)＝2500。0R称为边际收益递减规律R＝PQ=P(1000－100P)=1000P－100P2()10002000RPPQ信息学院罗捍东24考研题欣赏（2004年）设某商品需求函数为Q＝100－5P，其中P∈(0，20),Q为需求量。(1)求需求量对价格的弹性Ed(Ed0);(2)推导，(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在什么范围内变化时，降低价格反而使收益下降。(1)ddRQEdp信息学院罗捍东25解：例9：某商品需求量x与价格P之间的函数的关系为x＝1000－100P，固定成本为500元，单位可变成本为2元。当产量x为何值时利润最大？总成本函数为C(x)＝2x＋500。总收益函数为：R(x)＝xP=10x-0.01x2。则利润函数为:L(x)＝R(x)-C(x)＝8x-0.01x2-500()80.020,LxxQ400x得()0.020,Lx又Q所以当产量x＝400时，利润最大为L(400)＝1100元。信息学院罗捍东26一般地设总成本函数为C(x),总收益函数为R(x)。则利润函数为:L(x)＝R(x)-C(x)。要使利润最大，则应有：于是有即边际收益＝边际成本（称为利润最大化的必要条件）()()()0,LxRxCx00()()RxCx()()()0,LxRxCx于是有即边际收益的边际边际成本的边际（称为利润最大的充分条件）00()()RxCx信息学院罗捍东27例10:某商店每天向工厂按出厂价每件300元购进一批商品零售，若零售价为每件400元，估计销售量为400件，若零售价每降低5元，则可多销售40件，问每件售价应定为多少和从工厂购进多少件时，所获得利润最大？最大利润为多少元？解：设进货量为x件，售价为P元/件，依题意可知满足关系式:400404005xp化简后得:x=3600-8P易知利润函数为:L(P)＝(P-300)x＝-8P2+6000P+1080000信息学院罗捍东28()16006000,LPPQ()16000LP又Q令所以当P=375元、进货量为x＝600件时，利润最大为L(3.75)＝450元。()0,LP得375P信息学院罗捍东29考研题欣赏（2001年）某商品进价为a(元/件)零售，当销售价为b(元/件)时，销售量为c件(a,b,c均为正常数,且b4a/3)，市场调查表明，销售价每降低10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价，当销售价定为多少时，可获得利润最大？并求出最大利润。信息学院罗捍东30例11:某商店每年销售某种商品10000千克，每次订货的手续费为40元，商品的单价为2元/千克，年存储费是平均库存商品价格的10%，求最优订货批量。解：设订货批量为x，则年订货费为:年存储费为:商品成本为2×10000，因此，全年总费用为:1000040,x20.10.12xx10000400.120000,Cxx24000000.1Cx0,2000,Cx令得3800000,(2000)0CCx又Q所以当x＝2000时，总费用最小为C(2000)＝20400元。信息学院罗捍东31例12：证明：当时，2sinxx证：设202arccos,x2()sinfxxx令02x2()cosfxx则得：0()fx0()sinfxx而则20arccosf信息学院罗捍东32于是是f(x)的极大值点，2arccosx002()()ff所以，当时，在上是f(x)的最小值为即：02,02x0()fx2sinxx