2011届高考数学总复习直通车课件-基本初等函数(I)

数学直通车--基本初等函数（I）知识体系yy12xx12第一节一次函数、二次函数基础梳理1.一次函数的性质与图象(1)函数叫做一次函数.它的定义域为R,值域为R.(2)一次函数具有如下一些主要性质:①函数值的改变量与自变量的改变量的比值等于常数k;②当k0时,一次函数是;当k0时,一次函数是;③当b=0时,一次函数变为函数,是奇函数;当b≠0时,它既不是,又不是;④直线y=kx+b与x轴的交点为,与y轴的交点为y=kx+b(k≠0)增函数减函数正比例奇函数偶函数(0,b)0,kb2.二次函数的性质与图象(1)函数叫做二次函数,它的定义域是(2)二次函数有如下性质:①函数的图象是,抛物线顶点的坐标是,抛物线的对称轴是;②当a0时,抛物线开口向上,函数在处取;在区间上是减函数,在上是增函数;③当a0时,抛物线开口,函数在处取最大值;在区间上是增函数,在上是减函数;④与y轴的交点是⑤当Δ=b2-4ac0时,与x轴两交点的横坐标分别是方程a的的两根;当Δ=0时,与x轴切于一点;当Δ0时,与x轴;⑥当b≠0时,是非奇非偶函数；当b=0时,是;⑦对于函数f(x),若对任意自变量x的值,都有f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线对称.02acbxaxyR.一条抛物线abacab44,22abx2最小值ab2,,2ab向下(0,c)xx21、0,2ab没有交点偶函数x=aabx2abx2abf2abf2ab2,,2ab02acbxaxy3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系判别式二次函数的图像一元二次方程的根有两相异实根（）有两相等实数根没有实数根的解集的解集acb4200002acbxaxy02acbxaxy002acbxax002acbxaxxx21、xx21xxxx21abxx221xxx1Rxxxxxxx21或4.二次函数在闭区间上的最值问题y=f(x)=a+k(a0)在[m,n]上的最值问题.(1)h∈[m,n]时,=k,=max{f(m),f(n)}；(2)h[m,n]时,当hm时,f(x)在[m,n]上单调,==当hn时,f(x)在[m,n]上单调递减,=,=.hx2yminymaxyminymaxymaxymin递增f(m)f(m)f(n)f(n)典例分析题型一一次函数性质的应用【例1】一次函数y=(m+2)x+2m-1是增函数,且它的图象与y轴的交点在x轴的下方,求实数m的取值范围.分析当k0时，y=kx+b(k≠0)为增函数,其图象与y轴的交点为(0,b).解∵y=(m+2)x+2m-1是增函数,∴m+20.①又∵函数y=(m+2)x+2m-1的图象与y轴的交点在x轴下方,∴2m-10.②由①、②解得-2m.21学后反思函数y=kx+b(k≠0)解析式中参数k与函数单调性有关,k0时,函数图象是上升的;k0时,函数图象是下降的.b反映了函数图象与y轴交点的位置,b0时,交于x轴上方;b=0时,交于原点;b0时,交于x轴下方.b又叫做直线y=kx+b在y轴上的截距.举一反三1.已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时：(1)这个函数为一次函数?(2)函数值y随x的增大而减小?(3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上?解析:(1)当m≠时,这个函数为一次函数.(2)根据一次函数的性质,可知当2m-10,即m时,y随x的增大而减小.(3)直线y=x+1与x轴交于点(-1,0),将其代入y=(2m-1)x+1-3m中,得1-2m+1-3m=0,∴m=.212152题型二确定二次函数的解析式【例2】二次函数f(x)与g(x)的图象开口大小相同，开口方向也相同.已知函数g(x)的解析式和f(x)图象的顶点，写出函数f(x)的解析式.(1)函数g(x)=,f(x)图象的顶点是(4,-7).(2)函数g(x)=-2,f(x)图象的顶点是(-3,2).2(1)x2x分析题中给出了顶点坐标，可用顶点式设出二次函数，再由g(x)确定a的值.解如果二次函数的图象与y=a的图象开口大小、方向都相同，设顶点坐标为(h,k),则其解析式为y=a+k.(1)因为f(x)与g(x)=的图象开口大小、方向都相同，f(x)的图象的顶点是（4，-7），所以f(x)=-7=-8x+9.(2)因为f(x)与g(x)=-2的图象开口大小、方向都相同,f(x)图象的顶点是(-3,2)，所以f(x)=-2+2=-2-12x-16.2x2()xh2x2(4)x2x2(1)x2(3)x2x学后反思（1）要求函数的解析式，由于已知函数的类型为二次函数，从而可设y=a+bx+c(a≠0)，根据已知条件列方程组求出参数a、b、c即可.(2)二次函数的解析式有三种形式:①一般式:y=a+bx+c(a、b、c为常数，a≠0);②顶点式:y=a+k(a、h、k为常数，a≠0);③两根式:y=(a、为常数，a≠0).（3）要确定二次函数的解析式就是确定解析式中的待定系数（常数），由于每种形式中都含有三个待定系数，所以需要三个独立条件，这要求深刻挖掘已知条件.2x2()xh12()()axxxx12xx、2x2.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数.解方法一:利用二次函数一般式.设f(x)=a+bx+c(a≠0).由题意得,解得∴所求二次函数为y=-4+4x+7.方法二:利用二次函数的顶点式.设f(x)=a+n(a≠0).∵f(2)=f(-1),mx2举一反三84411242abaccbacba744cbax22()xm2x∴抛物线对称轴为x=，∴m=.又根据题意函数有最大值y=8,∴y=f(x)=a+8.∵f(2)=-1,∴a+8=-1，解得a=-4.∴f(x)=-4+8=-4+4x+7.方法三:利用二次函数的两根式.由已知f(x)+1=0的两根为=2,=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=a-ax-2a-1.又函数有最大值=8,即=8,解得a=-4或a=0(舍去).∴所求函数解析式为f(x)=-4+4x+7.2121221212x2122212xx2x1x2x2ymaxaaaa41242x2题型三二次函数的图象和性质【例3】将函数y=-3-6x+1配方，确定其对称轴和顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图象.分析配方后，利用二次函数的性质解决.2x解y=-3-6x+1=-3+4，由于项的系数为负数，所以函数图象开口向下；顶点坐标为(-1,4);对称轴为x=-1;函数在区间(-∞,-1］上单调递增，在区间［-1,+∞)上单调递减；函数有最大值，没有最小值，函数的最大值为4.采用描点法画图,选顶点A(-1,4)，与x轴的交点B（）和C与y轴的交点D(0,1)，再任取一点E(-2,1)，过这五个点画出图象，如图.2(1)x2x2x23-3-03，23-303，学后反思（1）由本例可以看出，根据配方法及函数的性质画函数图象，可以直接选取关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便，使图象更精确.(2)二次函数的图象是一条抛物线，其基本特征是有顶点，有对称轴，有开口方向，在画其图象时往往取顶点，以及与坐标轴的交点为特征点进行画图.举一反三3.（2010·合肥调研）已知函数f(x)=|+2x|，若关于x的方程+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，则b,c的大小关系为()A.bcB.b≥c与b≤c中至少有一个正确C.bcD.不能确定2x2()xf解析:令f(x)=t,由+bf(x)+c=0,①得+bt+c=0.②要使①有7个解，则②必须有两解，即f(x)=|+2x|与f(x)=t有7个交点（如图），所以方程②必有两个解，而f(x)=t中的一条直线必过f(x)=|+2x|折上去的顶点，故②式有一解为，另一直线与f(x)=|+2x|的图象有4个交点，故②式的另一解必在（0,1)上，所以，所以bc.答案:C121200,0bbctttt2()xf2t2x2x11t2x2t题型四二次函数在特定区间上的最值问题【例4】已知函数f(x)=-+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2,求a的值.x2分析作出函数图象,因对称轴x=a位置不定,故分类讨论对称轴位置以确定f(x)在[0,1]上的单调情况.解当对称轴x=a0时,如图1所示.当x=0时,y有最大值,=f(0)=1-a.∴1-a=2,即a=-1，且满足a0,∴a=-1.图1图2当0≤a≤1时,如图2所示.即当x=a时,y有最大值,=f(a)=-+2+1-a=-a+1.∴-a+1=2,解得a=.图3∵0≤a≤1,∴a=舍去.当a1,如图3所示.由图可知，当x=1时y有最大值,=f(1)=2a-a=2,∴a=2,且满足a1,∴a=2.综上可知，a的值为-1或2.ymaxa2a2a2251251ymaxymaxa2学后反思二次函数y=a+bx+c(a0)在区间[m,n]上求最值的方法:先判断是否在区间[m,n]内.(1)若∈[m,n],则最小值为f()=,最大值为f(m)、f(n)中较大者(m,n)中与距离较远的一个为最大值);x2abx20x0x0abac442ab2(2)若[m,n],当m时,f(x)在[m,n]上是单调递增函数,则最小值为f(m),最大值为f(n);当n时,f(x)在[m,n]上是单调递减函数,则最小值为f(n),最大值为f(m).x0ab2ab2举一反三4.（2010·唐山综测)已知函数f(x)=-2ax+3-1(a0,0≤x≤1)，求函数f(x)的最大值和最小值.解析：f(x)=-2ax+3-1=+2-1,由a0知，当a≥1时，由于f(x)在［0,1］上是减函数，故f(x)的最大值为f(0)=3-1,最小值为f(1)=3-2a;当0a1时，f(x)的最小值为f(a)=2-1,f(x)的最大值为f(0),f(1)中的较大者.若f(0)f(1)，则3-13-2a,解得a，所以当0a时，f(x)的最大值为f(1)=3-2a;当≤a1时，f(x)的最大值为f(0)=3-1.2a2x2()xa2a2a2a2a2a2a12122a122a题型五二次方程根的分布问题【例5】（12分）已知函数f(x)=m+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m的取值范围.x2分析本题涉及二次方程根的分布问题,很容易联想到根与系数的关系，可根据韦达定理去解决.解(1)当m=0时,f(x)=-3x+1,直线与x轴的交点为,在原点右侧,符合题意.………………………………………………………..…2′(2)当m≠0时,因为f(0)=1,所以抛物线过点(0,1).………………3′若m0,f(x)的开口向下,如图1所示.二次函数图象与x轴的两个交点必然是一个在原点右侧,一个在原点左侧.………………………………………………………………..5′0,31若m0,f(x)的开口向上,如图2所示.图1图2要使交点在原点右侧,当且仅当……………8′解得m≤1或m≥9,0m3,即0m≤1.………………………10′综上所述,所求m的取值范围是(-∞,1].………………………12′0023432mmmmm举一反三5.方程2-3x=k,（1）若方程在x∈[-1,1]的范围内有实