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第11讲运动图象追赶问题自主·夯实基础自主预习轻松过关名师点金本讲内容是本单元的重点与难点，对于运动图象，只有在深刻理解它们的内涵与外延的前提下才能巧妙地将其用于分析实际运动过程中．追赶和相遇问题涉及两个物体的运动，情境和过程较复杂，要提高解析这类题目的能力，一要多借助草图来弄清物理过程，二要在平时训练时多尝试一题多解，多总结、归纳．知识梳理一、运动图象用图象研究物理现象、描述物理规律是物理学的重要方法．运动图象主要有s－t图象、v－t图象．1．s－t图象表示物体的位移随时间的变化规律，从s－t图象能读出s、t、v(斜率表示速度)的信息．要注意，s－t图象不是物体的运动轨迹．2．v－t图象表示物体的运动速度随时间的变化规律，从v－t图象能读出s、t、v、a(斜率表示加速度，曲线下的面积表示位移)的信息．可见v－t图象提供的信息较多，应用也更广．二、常见运动的运动图象及物理意义用图象表述物理规律是物理学中常用的一种处理方法，图象具有简明、直观等特点．对于物理图象，需要从图象上的轴、点、线、面、斜率、截距等方面来理解它的物理意义，因为不同的物理函数图象中，这几方面所对应的物理意义不同．下表给出了s－t图象和v－t图象在这几方面的具体物理意义．位移图象(s－t)速度图象(v－t)匀速直线运动匀加速直线运动(a0，s有最小值)匀减速直线运动(a0，s有最大值)坐标轴横轴表示时间纵轴表示位移横轴表示时间纵轴表示速度点表示某时刻质点所处的位置表示某时刻质点的速度线表示一段时间内质点位置的变化情况表示一段时间内质点速度的变化情况(续表)位移图象(s－t)速度图象(v－t)面图线与横轴所围的面积表示在一段时间内质点所通过的位移，横轴上方的“面积”为正，下方的为负图线的斜率表示质点运动的速度表示质点运动的加速度两条图线的交点表示两质点相遇的时刻和位置表示两质点在此时刻速度相同三、追赶和相遇问题1．列方程法：取同一位置为位移参考点，列出两物体的位移随时间变化的方程，当位移相等时表示两物体相遇．2．相对运动法：取相对运动的两物体中的一物体为参考系和位移参考点，建立另一物体的位移随时间变化的方程，当位移为零时两物体相遇．3．图象法：在s－t图象中两图线的交点表示两物体相遇．在v－t图象中可根据两图线分别与t轴围成的面积的关系来判定两物体之间的相对位置和相遇条件．基础自测1．(2007年宁夏理综卷)甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图象中(如图11－1所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20s的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是()A．在0～10s内两车逐渐靠近B．在10～20s内两车逐渐远离C．在5～15s内两车的位移相等D．在t＝10s时两车在公路上相遇图11－1【答案】C2．(2009年湖北随州联考)甲、乙、丙三辆汽车在平直的公路上行驶，同时经过某一路标时速度相同．从此时开始，甲车一直做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一路标时速度又相同．下列说法正确的是()A．甲车先通过下一个路标B．乙车先通过下一个路标C．丙车先通过下一个路标D．条件不足，无法判断【解析】根据题意，画出三辆汽车的v－t图象如图所示．由于甲、乙、丙三辆汽车的初速度相同，它们又通过相同的位移，就要求三辆汽车在过下一个路标时三者的速度图线与t轴所围的面积相等，这样将对应三个不等的运动时间．由图象可直接分析得出选项B正确．【答案】B3．(2009年海南物理卷)甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v－t图象如图11－2所示，图中△OPQ和△OQT的面积分别为s1和s2(s2＞s1)．初始时，甲车在乙车前方s0处()图11－2A．若s0＝s1＋s2，两车不会相遇B．若s0＜s1，两车相遇2次C．若s0＝s1，两车相遇1次D．若s0＝s2，两车相遇1次【答案】ABC创新·方法探究提炼方法展示技巧题型方法一、v－t图象的理解与应用例1小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其v－t图象如图11－3所示．则由图可知()图11－3A．小球下落的最大速度为5m/sB．小球第一次反弹后瞬时速度的大小为3m/sC．小球能弹起的最大高度为0.45mD．小球能弹起的最大高度为0.9m【解析】第0.5s末小球着地，由图象可知，着地前的瞬时速度为5m/s，反弹速度为－3m/s，故选项A、B正确．因为v－t图象和t轴所围的面积即表示小球的位移，故在0.5～0.8s内的位移为－0.45m，负号表示方向向上，选项C正确．【答案】ABC方法概述1．v－t图象为直线表示物体做匀变速直线运动，图象为曲线表示物体做变速直线运动，如图11－4甲、乙所示．甲乙图11－42．v－t图象与t轴所围的面积表示该段时间内的位移，面积在t轴下方表示位移为负．变式训练利用速度传感器与计算机结合，可以自动作出物体的运动图象．某同学在一次实验中得到运动小车的v－t图象如图11－5所示，下列说法错误的是()A．小车先做加速运动，后做减速运动B．小车运动的最大速度约为0.8m/sC．小车的位移一定大于8mD．小车做曲线运动图11－5【解析】小车在整个过程中做直线运动，0～9s内做加速运动，10～15s内做减速运动，故选项D错误．由图象可知9s末物体的速度达到最大，vm≈0.8m/s．v－t图象与t轴包围的面积表示位移，故s≈83格×0.1米/格＝8.3m．【答案】D二、s－t图象的理解与应用例2在地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A后，又以初速度v0在同一地点竖直上抛另一物体B．若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔Δt必须满足什么条件？(不计空气阻力)【解析】依据s＝v0t－gt2作s－t图象，则可使解题过程大大简化．如图所示，两条图线的相交点表示A、B的相遇时刻，纵坐标对应位移sA＝sB．由图可直接看出Δt满足关系式Δt时，A、B可在空中相遇．1202gv04gv【答案】Δt【点评】从图象中明确运动情境是解决问题的关键，同时要明确s－t图象的物理意义．方法概述1．两图线相交说明两物体相遇，其交点的横坐标表示相遇的时刻，纵坐标表示相遇处相对参考点的位移．2．图线是直线，表示物体做匀速直线运动或静止；图线是曲线则表示物体做变速运动．3．图线与横轴交叉，表示物体从参考点的一侧运动到另一侧．4．图线平行于横轴说明斜率为零，即物体的速度为零，表示物体静止；图线斜率为正值，表示物体沿与规定正方向相同的方向运动；图线斜率为负值，表示物体沿与规定正方向相反的方向运动．02gv04gv三、追赶和相遇问题例3在水平直轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足什么条件？【解析】解法一取A车开始刹车位置处为位移参考点，有：sA＝v0t－·2at2sB＝s＋at2在两车恰好要接触而又不相撞的t时刻有：sA＝sB，v0－2at＝at即v0·－a·()2＝s＋a·()2解得：v0＝故v0＜时，两车不相撞．121203av03av03av126as6as解法二取A车为参考系，则B车做初速度为－v0、加速度为3a的匀变速直线运动，其位移为：sBA＝s－v0t＋·3at2两车不相撞的条件是：sBA＞0即Δ＝v02－4s·＜0得两车不相撞的条件为：v0＜．解法三A、B两车的v－t图象分别如坐标系中的直线a、b所示．设两车速度达到相等的时间为t1，有：v0－2at1＝at1解得：t1＝由图象知两车不相撞的条件为：Δs＝·v0·t1＜s解得：v0＜．1232a6as6as03av12【答案】v0＜方法概述解析追赶和相遇问题一般要注意以下两点：(1)若用相对运动求解，必须把v、s、a都转化成同一参考系；(2)利用二次函数求解时要明确抛物线的极值求法，有时建立的位移关系是关于时间t的一元二次方程，要明确判别式“Δ”大于零、等于零、小于零分别所对应的物理意义．6as高考排雷例(2008年海南物理卷)t＝0时，甲、乙两汽车从相距70km的两地开始相向行驶，它们的v－t图象如图11－6所示．忽略汽车掉头所需的时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是()图11－6A．在第1小时末，乙车改变运动方向B．在第2小时末，甲、乙两车相距10kmC．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大D．在第4小时末，甲、乙两车相遇【错解】在高考中有较多学生误选了A、D，对于选项B，有些同学计算出甲的位移s1＝×2×30km＝30km乙的位移s2＝－×2×30km＝－30km故认为两车相距60km，选项B错误．【正解】乙车在第1h内做加速运动，在第2h内做减速运动，2h末速度减为零改变运动方向，选项A错误．取甲的初始位置为位移参考点，有：s1＝×2×30km＝30kms2＝70km－×2×30km＝40km故甲、乙两车相距10km，选项B正确．在前4h内，a甲＝15km/h2在第1h内，a乙＝－30km/h2在后3h内，a乙＝30km/h2，故选项C正确．取甲的初始位置为位移参考点,4h末两车的位移分别为：s甲＝×60×4km＝120kms乙＝70km－×2×30km＋×2×60km＝100km，故选项D错误．12121212121212【答案】BC【点评】图象与相遇问题是高考对本单元的考查重点．同学们要理解好图象与实际物理情境、过程之间的关系．体验成功1．(2008年宁夏理综卷)甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v－t图象如图11－7所示．两图象在t＝t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，△OPQ的面积为S．在t＝0时刻，乙车在甲车前面，相距d．已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的组合可能的是()图11－7A．t′＝t1，d＝SB．t′＝t1，d＝SC．t′＝t1，d＝SD．t′＝t1，d＝S【答案】D1212121214342．(2009年北师大附中)两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶．t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在比赛中的v－t图象如图11－8所示．关于两车的运动情况，下列说法正确的是()图11－8A．两辆车在前10s内,b车在前,a车在后，距离越来越大B．a车先追上b车，后b车又追上a车C．a车与b车间的距离先增大后减小再增大，但a车始终没有追上b车D．a车先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，再做匀速直线运动，b车做匀速直线运动【解析】v－t图象中，两图线的第一个交点代表两车共速，此时两车相距最远；之后a的速度大于b的速度，二者距离又靠近；第二次速度相等时，二者相距最近；之后又远离．图象中a的面积始终小于b的面积，所以a车始终没有追上b车．选项C、D正确．【答案】CD3．(2008年江苏镇江模拟)如图11－9甲所示的装置中，光滑的定滑轮固定在高处，用细线跨过该滑轮，细线两端各拴一个质量相等的砝码m1和m2．在铁架上A处固定环状支架z，它的孔只能让m1通过．在m1上加一个槽码m，m1和m从O点由静止释放向下做匀加速直线运动．当它们到达A时槽码m被支架z托住，m1继续下降．在图11－9乙中能正确表示m1的运动速度v与时间t和位移x与时间t的关系图象的是(图象中的Oa段为抛物线，ab段为直线)()图11－9甲图11－9乙【解析】m1和m从O点由静止释放向下做匀加速直线运动，当它们到达A时槽码m被支架z托住，此后m1做匀速运动，故选项A正确．做匀加速运动时位移x与时间t是二次函数关系，图象为抛物线；做匀速直线运动时位移与时间成正比，是线性函数关系，图象为直线，选项D正确．【答案】AD4．(2008年江苏扬州模拟)如图11－10所示的s－t和v－t图象中，给出的四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况．关于它们的物理意义，下列描述正确的是()图11－10A．图线1表示物体做曲线运动B．s－t图象中