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走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·高考一轮总复习走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章立体几何第九章立体几何走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章立体几何第九章第三节空间点、直线、平面之间的位置关系走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节基础梳理导学思想方法技巧课堂巩固训练4考点典例讲练3课后强化作业5走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节基础梳理导学走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节重点难点引领方向重点：1.平面的概念与基本性质2．空间直线、平面之间的各种位置关系难点：1.证明点共线、线共点、点线共面等2．异面直线的判定走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节夯实基础稳固根基1．平面的基本性质(1)连接两点的线中，线段最短；过两点有且只有一条直线．(2)基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面．基本性质3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有经过这个公共点的一条直线．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节2．空间两条直线(1)平行直线①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．②基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．③等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角相等．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节(2)异面直线既不相交，又不平行的两条直线叫做直线．(3)垂直直线空间中如果两条直线相交于一点，或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．异面走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节3．直线和平面的位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点直线与平面相交和平行统称直线在平面外．4．平面与平面的位置关系(1)平行——没有公共点；(2)相交——有一条公共直线．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节5．空间四边形顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形叫做空间四边形，所连接的相邻顶点间的线段为空间四边形的边，连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节疑难误区点拨警示1．异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．而不是分别在两个平面内．理解定义一定要准确．2．等角定理是求空间中两条直线所成角的基础，运用定理时，应注意“这两个角相等或互补”，只有在“方向相同”时才相等．3．同一平面内两条直线不平行则必相交，但在空间中则不然，平面几何中的一些结论在空间中未必成立．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节思想方法技巧走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节一、共线与共面问题证明共线时，所共的直线一般定位为两个平面的交线；证明共面问题时，一般先由已知条件确定一个平面(有平行直线的先用平行直线确定平面)，再证其它元素在该平面内．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节二、异面直线问题1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：连接平面外一点A与平面内一点B的直线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：假设两直线共面，则可能平行，也可能相交，按已知条件对两种情形进行推理产生矛盾．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节2．(理)求异面直线所成角空间的角在教材中全移到了空间向量与立体几何中学习，这是因为用向量方法处理这部分内容可以降低难度，但复习时，可以移到前面加以整合，相关问题可以用纯几何方法求解，也可以用向量知识求解，增加解决问题方法的可选性．异面直线所成角的大小，是用过空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的．因此，平移直线是求异面直线所成角的关键．这里给出几种平移直线的途径．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节(1)在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实际情况构造辅助平面，在辅助平面内平移直线构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之一；这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条上一点确定一个平面，在这个平面内过这个点作这条直线的平行线，或在两条异面直线上各选一点连线，构造两个辅助面过渡．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节[例1]如图所示，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节解析：在平面ABB1A1内作EN∥AM交AB于E，则EN与CN所成的锐角(或直角)即为AM和CN所成的角．设正方体棱长为a.在△CNE中，可求得CN＝52a，NE＝54a，CE＝174a，由余弦定理得，cos∠CNE＝EN2＋CN2－CE22EN·CN＝25.即异面直角AM与CN所成角的余弦值为25.走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节(2)利用平行平面平移直线构成可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之二；这种方法常见于两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可利用面面平行的性质，将一条直线平移到另一条所在的平面内．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节[例2]如下图所示，正方体AC1中，B1E1＝D1F1＝A1B14，求BE1与DF1所成角的余弦值．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节解析：∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，∴在A1B1上取H，使A1H＝A1B14，即可得：AH∥DF1.引NH∥BE1，则锐角∠AHN就是DF1与BE1所成的角．设正方体棱长为a，在△AHN中，易求得：AN＝a2，AH＝NH＝BE1＝174a.由余弦定理得，cos∠AHN＝AH2＋HN2－AN22AH·HN＝1517.即BE1与DF1所成的角的余弦值为1517.走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节(3)整体平移几何体，构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之三．这种方法常常是将原有几何体上再拼接上同样的一个几何体(相当于将原几何体作了一个平移)创造平移直线的条件．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节[例3]如下图长方体AC1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B1N＝4.求BD1与C1N所成角的余弦值．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节解析：如图所示，将长方体AC1平移到BCFE－B1C1F1E1的位置，则C1E∥BD1，C1E与C1N所成的锐角(或直角)就是BD1与C1N所成的角．在△NC1E中，根据已知条件可求B1N＝4，C1N＝5，C1E＝13，EN＝E1N2＋EE21＝417.由余弦定理，得cos∠NC1E＝C1N2＋C1E2－EN22C1N·C1E＝－35.∴BD1与C1N所成角的余弦值为35.走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节考点典例讲练走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节[例1]如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE：EB＝CF：FB＝2：1，CG：GD＝3：1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.(1)求AH：HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点．共点、共线、共面问题走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节解析：(1)∵AEEB＝CFFB＝2，∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF⊂平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴AHHD＝CGGD＝3，即AH：HD＝3：1.走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节(2)证明：∵EF∥GH，且EFAC＝13，GHAC＝14，∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．设EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节点评：一般的，证明三线共点时，先看一下这三条线中，是否有一条是两个平面的交线，而另两条分别在这两个平面内，这时只需证这两条直线相交，则其交点落在两个平面的交线上；证明三点共线时，一般先由其中两点确定一条直线，再证明第三点落在此直线上，或证明三个点都是两个平面的公共点，且这两个平面相交；证明共面问题，一般先依据平面的基本性质结合条件确定一个平面，再证明其他元素都在这个平面内．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊12FA，G、H分别为FA、FD的中点．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？分析：(1)欲证四边形BCHG是平行四边形，需证两组对边分别平行或一组对边平行且相等，注意到条件，BC綊12AD，G、H分别为FA、FD的中点，因此GH綊BC.走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节(2)假设C、D、F、E四点共面，则C、H、E、F共面，又CH綊BG，注意到BE綊12AF有BE綊GF，∴EF綊BG，从而CH綊EF.走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节解析：(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊12AD.又BC綊12AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节(2)由BE綊12AF，G为FA中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF綊CH.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面.走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节[例2]若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面空间两条直线的位置关系走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节分析：P与两条异面直线的位置关系不同，会引起过P所作直线与两异面直线l、m平行、垂直、相交、异面结果的变化，因此应区别不同位置情况加以讨论．走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节解析：若存在过P的直线a，a∥l，a∥m，则l∥m矛盾，∴A错；若点P与m确定的平面α∥l，则过P与l、m都相交的直线不存在，故C错；若过P点的平面α∥l，α∥m时，在α内存在无数条过P点的直线与l、m都异面，故D错．设a是与l、m都垂直相交的直线，P不在a上时，则过P点与a平行的直线有且仅有一条，P在a上时，仅有一条．答案：B走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节已知m、n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则l()A．与m、n都相交B．与m、n中至少一条相交C．与m、n都不相交D．与m、n中的一条直线相交走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节解析：若m、n都不与l相交，∵m⊂α，n⊂β，∴m∥l、n∥l，∴m∥n∥l，这与m、n为异面直线矛盾，故l与m、n中至少一条相交．答案：B走向高考·高考一轮总复习·人教B版·数学第九章第三节[例3]设直线m与平面α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是()