财务金融分析师-期权定价模型介绍

第19章期权定价模型介绍清华大学经管学院朱世武[e-mail]样本数据：论坛：期权的概念•期权（option）是一种选择权，期权交易实质上是一种权利的买卖。期权的买方在向卖方支付一定数额的货币后，即拥有在一定的时间内以一定价格向对方购买或出售一定数量的某种商品或有价证券的权利，而不负必须买进或卖出的义务。•按期权所包含的选择权的不同，期权可分为看涨期权和看跌期权；按期权合约对执行时间的限制，期权可分为欧式期权和美式期权。有关期权的专用术语：执行价（X）：预先商定的期权执行时的交易价格。到期日（T）：期权到达一定日期便会失效，这一日期被称为到期日。交易数量（N）：期权执行时，标的物品的交易数目。期权价格（P）：为得到期权所赋予权力而支付的价格。欧式期权是只有在到期日才能执行的期权；美式期权是在到期日之前都可以执行的期权。买权与卖权概述•买权，又称看涨期权（CallOption），是指期权的出售者给予期权的持有者在到期日或之前、以确定的价格（执行价格）向期权出售者购买一定数量资产的权力。•卖权，又称看跌期权（PutOption），是指期权的出售者给予期权的持有者在到期日或之前、以确定的价格（执行价格）向期权出售者卖出一定数量资产的权力。100美元xAB图19.1看涨期权的收益曲线100美元x100美元CD图19.2看跌期权的收益曲线买权与卖权的平价关系0(1)TfXCSPr考虑一下这样两个策略：策略一：在零时刻从现货市场上购入1单位铜，同时购入一份看跌期权。策略二：在零时刻从资本市场上买入面值为X的国库券，同时购入一份看涨期权。设时刻T铜的现货价格为。tS头寸情况即期现金流未来到期现金流策略一从现货市场上购入1单位铜一份看跌期权策略二从资本市场上买入面值为X的国库券一份看涨期权0()SP0SP[*(1)]TfXrC*(1)TfXrC(0,)ttSMAXXStS(0,)tMAXXS(0,)tXMAXSXX(0,)tMAXSX期权定价模型•期权定价理论的核心原理是动态无套利均衡原理，即用一组头寸不断调整的衍生工具证券组合来复制期权，保持时刻无套利的均衡状态。•目前，最经典的两个期权定价模型是Black-Scholes期权定价模型和二叉树（BinomialTheory）期权定价公式。二叉树期权定价模型衍生证券的有效期可分为n段时间间隔t，假设在每一个时间段内资产价格从开始的S运动到两个新值uS和dS中的一个。其中u1,d1，设价格上升的概率是p，下降的概率则为1-p。在0时刻，股票价格为S；时间为时，股票价格有两种可能：uS和dS；时间为时，股票价格有三种可能：，以此类推t2t22,uSudSdS和S图19.3资产价格的二叉树图uS2uSdSudS2dS下面来分析一下以上述资产为标的物的期权的二叉树情况。在0时刻，期权价格为C；时间为时，期权价格有两种可能：；时间为时，期权价格有三种可能。以此类推，图19.4中给出了期权价格的完整树图。在时刻，期权价格有i+1种可能：tudCC和2tuududdCCC，和itCuC图19.4期权收益的二叉树图2[0,]uuCMAXuSK[0,]duCMAXudSK2[0,]ddCMAXdSKdC假设有一个投资组合包含了份股票和价值为B的无风险债券，那么在期末，这个组合的价值会变成（r为无风险利率），以概率q以概率1-qSBuSrBdSrB图19.5投资组合收益二叉树图适当选择和B使得该组合的期末价值与期权的期末价值相等，也就是和B满足，uduSrBCdSrBC即，,()()udduCCuCdCBudSudr根据无套利均衡原理可以得出该组合和期权的期初价值也应该一样，即，[()()]()udduudCCuCdCrdurCSBCCrududududr定义，,1rdurppudud上式就可以简化成,[(1)]udCpCpCr[(1)][(1)]uuuuddudddCpCpCrCpCpCr很容易得到，22222222[2(1)(1)][[0,]2(1)[0,](1)[0,]]uuudddCpCppCpCrpMAXuSKppMAXduSKpMAXdSKr将上式推广，进行递归可以得到更一般的结果，对于有n期的期权，期权价格C满足，0![()(1)[0,]]!()!njnjjnjnjnCppMAXudSKrjnj新设变量使得满足，则，对于所有，.对于所有，aaanaudSK[0,]0jnjjaMAXudSK，[0,]jnjjnjjaMAXudSKudSK，从而![()(1)[]]!()!njnjjnjnjanCppudSKrjnj或（更便于实证计算的形式），1001000!![()(1)[]][()(1)[]]!()!!()!!!{[()(1)()][()(1)()]}!()!!()!!{[()!()!najnjjnjnjnjjnjnjjjnjjnjnajnjjnjnnjjnnjjnnCppudSKrppudSKrjnjjnjnudnudSppppjnjrjnjrnKrpjnj10!(1)][()(1)]}!()!anjjnjjnpppjnj记'()purp，则1'()(1)pdrp且，(1)()[][(1)]'(1')jnjjnjjnjjnjnududpppppprrr记0!()(1)[,,]!()!kjnjjnpppnkjnj可得，{[',,][',,1]}{[,,][,,1]}nCSpnnpnaKrpnnpna其中,为大于的最小整数。aln()ln()nKSdudB-S期权定价模型资产价格波动的经典假设，也是被广泛应用的一个假设是资产价格遵循一扩散过程，称其为几何布朗运动，即()()()()19.9dStStdtStdBt（）其中，S（t）为t时刻的资产价格，为飘移率，为资产价格的波动率，B（t）遵循一标准的维纳过程。下面引入Itô引理。Itô引理：设F（S,t）是关于S两次连续可微，关于t一次可微的函数，S（t）是满足随机微分方程（19.9）的扩散过程，则有以下随机变量函数的Itô微分公式212(,)19.10tSSSdFStFdtFdSFdt（）Black-Scholes期权定价模型的一个重要假设是资产价格遵循对数正态分布，即。将该式与（19.9）式同时代入（19.10）式，有)(ln),(tStSF)()()(ln221tdBdttSd从而有ttZtStSR))1()(ln(其中，为资产在t期的收益率，在此过程下，，且对不同的时间是独立的。令S（0）为0时刻的资产价格，有（19.13）此刻。221tR)1,0(~)1()(NtBtBZiidt),(~2NRt),(~))0()(ln(2ttNZtStSt),0(~tNZtBlack-Scholes模型的基本假设：1.没有交易费用和税负；2.无风险利率是常数；3.市场连续运作；4.股价是连续的；5.股票不派发现金股息；6.期权为欧式期权；7.股票可以卖空，而且卖空者得到交易中的全部利益；8.市场不存在无风险套利机会。看涨期权在到期日的价值为，0,max(,0),TTTTTSXCSXSXSX（19.14）令，可知，从而有)ln(0SSYTYTeSSttNY02,),(~0220222122022112220100ln()()20ln()()220ln()0ln()01()()()121()212(YYTXTTTXSYtYtXSYtttttXSttXttStrtSASfSdSSefYSedYYSeedYtYttSeedYttSeedSeNd令)221rttrXSd})(){ln(22101其中0ln()0002()()ln()Pr{ln()}Pr{}ln()Pr{}()XTTXSBfSdSfYdYXtSXYtobYobSttXtSYtobNdtt（19.17）其中ttrXSd})(){ln(22102)()()(210dXNdNeSXBACErtT)()()(210dNXedNSeCECrtrtT从而有期权的预期价值为，其现值即得期权的合理价格例19.1考虑一个两年期美式看跌期权，股票的执行价格为$52，当前价格为$50。假设价格为两步二叉树，每个步长为一年，在每个单步二叉树中股票价格或者按比率上升20％，或者按比率下降20％。无风险利率为5％。ABC505.0894601.414740127204843220在初始节点A，求出的期权价值为，0.051(0.62821.41470.371812.0)5.0894fe而提前执行的价值为$2.0。在这种情况下，提前执行是不明智的。因此期权的价值为$5.0894。