特征值与特征向量、二次型

特征值、特征向量、二次型特征值定义相似求法实对称阵隐含的信息性质特征值定义特征多项式特征向量不同特征值的特征向量线性无关k重特征值至多有k个线性无关的特征向量概念矩阵对角化应用;)1(221121nnnaaa.)2(21An1.0AE0212222111211nnnnnnaaaaaaaaan称未知数的一元次方程0EA.A为的特征方程,,n是的次多项式fAE记.A称为方阵的特征多项式122.,,,,ijnnAa设阶方阵的特征值为则有;)1(221121nnnaaa.)2(21An显然，如果矩阵A可逆，则A的特征值不等于0.一、特征值与特征向量.01011(),3(1);(2)();()().(),().11(3),;.ijnnTkkmmmmAaAkAAaaaAEAaaaAAAAA设是的特征值则也是的特征值是的特征值为任意自然数是的特征值其中当可逆时是的特征值是的特征值4.对角阵12Ddiagn（，，，）12,,,.n的特征值是5.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．一、矩阵的相似1,,,,,.1ABnPPAPBBAAB设都是阶矩阵若有可逆矩阵使则称是的相似矩阵或说矩阵与定相似义,..1mmABABm若与相似则与相似为正整数()()AABB的多项式与的多项式相似。2,.、相似矩阵的特征多项式相同从而特征值亦相同3、若阶方阵A与对角阵相似，n12Ddiagn（，，，）12,,,.nAn则即是的个特征值112,=diag(,,,),nPPAPD4若可逆矩阵使1112(,,,),kkkkknAPDPPdiagP则三、方阵对角化1.nAAn阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是有个线性无关的特征向量、3、如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似．4、如果A的特征方程有r重根λ，而λ没有r个线性无关的特征向量，则矩阵A不能对角化.2.nAArr阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是如果是的重特征根，则有线性无关的特征向量、5、实对称阵一定能对角化.一、正交矩阵定义1叫做正交矩阵。则满足如果矩阵AAAA,:11;nAAAAAE、阶方阵是正交阵的充要条件是;E2、单位阵是正交阵;nABAB3、两个阶正交阵，的积是正交阵4、A为正交矩阵的充要条件是A的行、列向量组都是两两正交的单位向量．二、向量的内积定义1n设有维向量1212(,,,),(,,,),nnxxxxyyyynnyxyxyxyx2211,）（令.,的与为向量）（称yxyx内积1,,:,.Txyxyyx、如果都是列向量内积可表示为（）2.,,:,.Txyxyxy如果都是行向量内积可表示为（）定义2.,0,yxyx与称向量时）当（正交正交向量组：非零向量组中的向量两两正交。1定理组一定线性无关。正交的非零向量（1）正交化，取，11ab,,,1112122bbbabab111122221111],[],[],[],[],[],[rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,,,,,,111等价与且两两正交那么rrraabbbb222321113133],[],[],[],[bbbabbbbabab三、Schmidt正交化规范化过程（2）单位化，取,,,,222111rrrbbbbbb.,,,21为一个正交单位向量组那么r.,,,,,11称为的过程向量组构造出正交上述由线性无关向量组rrbbaa施密特正交化过程（2）n阶实对称矩阵有n个线性无关的特征向量.四、实对称矩阵隐含的信息（3）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交.（4）n阶实对称矩阵有n个两两正交的单位特征向量.（5）对于n阶实对称矩阵A，一定有正交阵T，对角阵D，使得1TATTATD.)1(实数实对称矩阵的特征值为其中对角阵D对角线上的元素是T的各列所对应的特征值。根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.;,0的特征向量求出由AxEAi1.;的特征值求A构造正交阵T.5.,.1,,.TTfAxAxAAffAAf二次型可记作其中、称为二次型的矩阵称为对称阵的二次型对称阵的秩称为二次型的秩二次型与它的矩阵是一一对应的．2221212.rrfyyykkk只含平方项的二次型称为二次型的标准形n元二次型A与B合同：，其中C可逆。BCACA与B合同.二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY定理222121212,,,,,,().nnnijfXAXXTYffyyyfAa任给实二次型总有正交变换使化为标准形其中是的矩阵的特征值正交变换法化二次型为标准形第一步写出f的矩阵A第二步求A的特征值的特征向量求出由AxEAi,0第三步并将属于λi的特征向量正交化第四步将特征向量单位化12,,,n得单位正交特征向量组第五步得到正交变换X=TY12,,,)nT=(定义.,,0)(,0;,),0)0((0)(,0,)(是负定的并称对称矩阵为负定二次型则称都有如果对任何是正定的称对称矩阵并为正定二次型则称显然都有如果对任何设有实二次型AfxfxAffxfxAxxxfT正定二次型正定性的相关结论1)实二次型正定XAX,0nXRXAX若X0,则3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.秩＝n＝（的正惯性指数）.fpf2）(定理2)n元实二次型正定12(,,,)nfxxx规范形为22212.nzzz2221122,0,1,2,,nndydydyiin4）正定二次型的标准形为12(,,,)nfxxx等价描述：实对称矩阵A正定A与单位矩阵E合同.5）实二次型X´AX正定的充分必要条件是实对称阵A的特征值都是正数。6）正定矩阵A的行列式大于0.7）二次型是正定的充分必要条件是实对称矩阵的各阶顺序主子式都大于0。()ijnnAa12,1(,,,)nnijijijfxxxax8）二次型是负定的充分必要条件,1nijijijXAXax()ijnnAa是实对称矩阵的奇数阶顺序主子式都小于0，而偶数阶顺序主子式都大于0。123323,31,1,2,5,;5.ABBAEAA设是阶矩阵它的个特征值为设求例1解12.nAA利用来计算,5)(23xxxf令,,,321的全部特征值是因为A32()(13)()5.ififABAA所以是的全部特征值故)(AfB)()()(321fff.288)12)(6)(4(()5,gxx同理，令123()(),(),(),gAggg的所有特征值为)(5AgEA.72)2()1()1(ggg