特征值相似矩阵

3.1特征值与特征向量相似矩阵第三章矩阵相似相合与二次型.,,,,特征向量特征值定义3.1的的对应于是的一个是则称使向量维非零列及若存在数阶方阵是设AAAnnA.117112543:例如.711的一个特征向量的对应于是A.25437的一个特征值是..对称性和传递性也有反身性、等价关系的特款方阵的相似关系是矩阵.,,,,,1BABABAPPPnnBA记为与则称使阶可逆阵若存在阶方阵都是设相似定义2)(~)()(~)(~~11可逆或假定是多项式假定是正整数）（，则若BABAfBfAfsBABAss例182~)(,2)(,21~2AfxxxfA则例如若.的特征向量个线性无关有件是与对角阵相似的充要条阶方阵nAAn定理3.1方阵与对角阵相似的充要条件一般地，我们有..3,,,,.2::.12121211121个线性无关的特征向量相似的充要条件是有两与对角阵二阶矩阵的特征向量，的对应于特征值依次是的列向量相似变换矩阵的特征值是；很容易计算，则相似若与对角阵回到引例，AAppPAPPAAPPAnnngoto.,25431APPA使并求可逆阵及对角阵的特征值和特征向量求例2.0)(的非零解是齐次线性方程组的特征向量的对应于是xAEA0AEA的特征值是.0,特征方程特征多项式的为矩阵的为矩阵称AAEAAE:法特征值与特征向量的求☆.,,,,163222123要说明理由若回答“否”换矩阵要求出对角阵及相似变若回答“是”是否与对角阵相似判明的特征值和特征向量并求设AAA例3AE解.4,2,204)(2)-(8)-22)(-(22163222123162220122402201220000001-2136-32-4212-1:2,20002301-1-16-9-06-9-01-1-13-6-3-2-2-212-7-:-4.,21不同时为零kk,101012-21kkx0,32133kkx.1.32221.3,与对角阵相似），（推论个线性无关的特征向量有，或因为）（定理向量有三个线性无关的特征AaA422,310201112P令.1APP则有PΛAP可验算2.主要性质AAatrAAEnkknkkknnndet,),())((11n1kk21则设定理3.3.)()(的一个特征值是方阵则是一个多项式，的一个特征值，是方阵设AfffA定理3.4.0)(,)(fAAfOAfAf必满足特征值的任一的一个零化多项式）则是（这时称是一个方阵，使是一个多项式，若推论3.4注意：推论3.4的逆命题不真，即：零化多项式的根未必都是A的特征值..11111)(.)(0110,1001,100121322321的特征值不是的特征值，不是但的特征值，都是，易知的根是均满足AAAxxfOIAAfAAA例4.)2(;,)1(:.2,1,;,,521212121的特征向量不是线性无关求证的特征向量对应于是的特征值是设AiAAii例例证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则x.)1(是任意常数的特征值是mAmm.,)2(11的特征值是可逆时当AA证明xAx1xAxxAAxAxxA22再继续施行上述步骤次，就得2mxxAmm.,征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故mmmmAxA可得由xAxxAxAAxA111xxA11,0,2可逆时当A.,1111的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故AxA,.(1..)Ass方阵的对应于个互异特征值的个各自线性无关的特征向量组合在一起仍然线性无关例5之（）的推广证略定理3.5推论3.1an阶方阵A与对角阵相似的充要条件是每个重特征根有个线性无关的特征向量.即:ininr().iiIAnn推论3.1b若n阶实方阵A有n个互异实特征值,则A与对角阵相似.但是推论3.1b给出的条件是充分的，并不是必要的.)(r)(r)3();(tr)(tr)2();det()det()1(111AAPPAAPPAAPP)(.,秩也相同行列式相同相似矩阵的迹相同推论3.2..1AEAPPE相同相似矩阵的特征多项式定理3.2此乃矩阵相似的必要条件，并不充分..,)3(.33,31362不相似与但例BAλI-BλI-ABA书面作业：151页2,3,4,5(2)(3),6,10,11,13(3)(4)本节重点：1.特征值特征向量的定义\性质\计算2.相似矩阵的定义\性质3.方阵与对角阵相似的充要条件.(2);,3)1(),,,(,32,33812232AAPPBBAAPAAAAAA求使阶矩阵求记性无关，且线，维列向量，已知是阶方阵，是设例||IA223211(1)(,,)(,,)001001(,,)102,102013013(2)(),1011125.012APAAAAAAAAPBBAIPBPIPBIPA-I解1||||BA