历年高考数学试题分类汇编

-1-2008年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一．选择题：1.（福建卷11)又曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,2.（海南卷11）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（A）A.（41，－1）B.（41，1）C.（1，2）D.（1，－2）3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c和22c分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a和22a分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122acac;②1122acac;③1212caac;④11ca＜22ca.其中正确式子的序号是BA.①③B.②③C.①④D.②④4.（湖南卷8）若双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是(B)A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D.(5,+)-2-5.（江西卷7）已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是CA．(0,1)B．1(0,]2C．2(0,)2D．2[,1)26.（辽宁卷10）已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（A）A．172B．3C．5D．927.（全国二9）设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是（B）A．(22)，B．(25)，C．(25)，D．(25)，8.（山东卷(10)设椭圆C1的离心率为135，焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为A（A）1342222yx(B)15132222yx(C)1432222yx(D)112132222yx9.（陕西卷8）双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别是12FF，，过1F作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（B）A．6B．3C．2D．33xo322yA2-xBo322y2-2xo322yC-xo322yD2--3-10.（四川卷12）已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且2AKAF，则AFK的面积为(B)（Ａ）4（Ｂ）8（Ｃ）16（Ｄ）3211.（天津卷（7）设椭圆22221xymn（0m，0n）的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为B（A）2211216xy（B）2211612xy（C）2214864xy（D）2216448xy12.（浙江卷7）若双曲线12222byax的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D（A）3（B）5（C）3（D）513.（浙江卷10）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是B（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线14.（重庆卷(8)已知双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=5k,则双曲线方程为C（A）22xa－224ya=1(B)222215xyaa(C)222214xybb(D)222215xybb二．填空题：1.（海南卷14）过双曲线221916xy的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双-4-曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______32152.（湖南卷12）已知椭圆22221xyab（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为l,离心率e=5.5过顶点A(0,b)作AMl,垂足为M，则直线FM的斜率等于.123.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆2222xyab1(ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=．224.（江西卷15）过抛物线22(0)xpyp的焦点F作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则AFFB．135.（全国一14）已知抛物线21yax的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．26.（全国一15）在ABC△中，ABBC，7cos18B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．387.（全国二15）已知F是抛物线24Cyx：的焦点，过F且斜率为1的直线交C于AB，两点．设FAFB，则FA与FB的比值等于．3228.（浙江卷12）已知21FF、为椭圆192522yx的两个焦点，过1F的直线交椭圆于A、B两点若1222BFAF，则AB=______________。8三．解答题：1.（安徽卷22）．（本小题满分13分）设椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1)M，且着焦点为1(2,0)F-5-（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C相交与两不同点,AB时，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，证明：点Q总在某定直线上解(1)由题意：2222222211cabcab，解得224,2ab，所求椭圆方程为22142xy(2)方法一设点Q、A、B的坐标分别为1122(,),(,),(,)xyxyxy。由题设知,,,APPBAQQB均不为零，记APAQPBQB,则0且1又A，P，B，Q四点共线，从而,APPBAQQB于是1241xx，1211yy121xxx，121yyy从而22212241xxx，（1）2221221yyy，（2）又点A、B在椭圆C上，即221124,(3)xy222224,(4)xy（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424sy即点(,)Qxy总在定直线220xy上方法二设点1122(,),(,),(,)QxyAxyBxy，由题设，,,,PAPBAQQB均不为零。且PAPBAQQB又,,,PAQB四点共线，可设,(0,1)PAAQPBBQ,于是1141,11xyxy（1）-6-2241,11xyxy（2）由于1122(,),(,)AxyBxy在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程2224,xy整理得222(24)4(22)140xyxy（3）222(24)4(22)140xyxy(4)(4)－(3)得8(22)0xy0,220xy∵∴即点(,)Qxy总在定直线220xy上2.（北京卷19）．（本小题共14分）已知菱形ABCD的顶点AC，在椭圆2234xy上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点(01)，时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值．解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为1yx．因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD．于是可设直线AC的方程为yxn．由2234xyyxn，得2246340xnxn．因为AC，在椭圆上，所以212640n，解得434333n．设AC，两点坐标分别为1122()()xyxy，，，，则1232nxx，212344nxx，11yxn，22yxn．所以122nyy．所以AC的中点坐标为344nn，．-7-由四边形ABCD为菱形可知，点344nn，在直线1yx上，所以3144nn，解得2n．所以直线AC的方程为2yx，即20xy．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且60ABC，所以ABBCCA．所以菱形ABCD的面积232SAC．由（Ⅰ）可得22221212316()()2nACxxyy，所以234343(316)433Snn．所以当0n时，菱形ABCD的面积取得最大值43．3.（福建卷21）（本小题满分12分）如图、椭圆22221(0)xyabab的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有222OAOBAB,求a的取值范围.本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以32OFMN,即1＝32,3.23bb解得＝-8-2214,ab因此，椭圆方程为221.43xy(Ⅱ)设1122(,),(,).AxyBxy(ⅰ)当直线AB与x轴重合时，2222222222,4(1),.OAOBaABaaOAOBAB因此，恒有(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：22221,1,xyxmyab代入整理得22222222()20,abmybmybab所以222212122222222,bmbabyyyyabmabm因为恒有222OAOBAB，所以AOB恒为钝角.即11221212(,)(,)0OAOBxyxyxxyy恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1xxyymymyyymyymyy2222222222222222222222(1)()210.mbabbmabmabmmabbabaabm又a2+b2m20,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a20对mR恒成立，即a2b2m2a2-a2b2+b2对mR恒成立.当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b20.a2a2b2-b2,a2(a2-1)b2=b4,因为a0,b0,所以ab2,即a2-a-10,解得a152或a152(舍去)，即a152,综合（i）(ii)，a的取值范围为（152，+）.解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，-9-x=1代入22222221(1)1,Aybayaba=1.因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,2(1+yA2)4yA2,yA21，即21aa1,解得a152或a152(舍去)，即a152.（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）,B（x2,y2）.设直线AB的方程为y=k(x-1)代入22221,xyab得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0,故x1+x2=222222222222222,.akakabxxbakbak因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,所以x21+y21+x22+y22(x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+y1y20恒成立.x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2=(1+k2)2222222222222222222222222()aka